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Déterminer une équation cartésienne d'un plan - Exercice 1

8 min
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Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les points A(1;2;−3)A\left(1;2;-3\right), B(2;3;−2)B\left(2;3;-2\right) et C(−1;0;−5)C\left(-1;0;-5\right)
Question 1

Les points AA, BB et CC définissent-ils un plan ?

Correction
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés donc ils forment une droite.
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    • On a : AB→(111)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) et AC→(−2−2−2)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-2} \\ {-2} \end{array}\right)
    On vérifie facilement que les deux vecteurs sont colinéaires car AC→=−2AB→\overrightarrow{AC} =-2\overrightarrow{AB}
    Les points A,BA,B et CC sont donc alignés et ils forment une droite et par conséquent ces 33 points ne définissent pas un plan.
    Question 2
    On donne les points A(2;3;1)A\left(2;3;1\right), B(3;0;−1)B\left(3;0;-1\right) et C(1;2;−1)C\left(1;2;-1\right)

    Les points AA, BB et CC définissent-ils un plan ?

    Correction
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés donc ils forment une droite.
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    • On a : AB→(1−3−2)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \\ {-2} \end{array}\right) et AC→(−1−1−2)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)
    On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    Question 3
    On donne les points A(−3;−3;−5)A\left(-3;-3;-5\right), B(−2;−3;−3)B\left(-2;-3;-3\right) et C(1;2;−1)C\left(1;2;-1\right)

    Les points AA, BB et CC définissent-ils un plan ?

    Correction
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés donc ils forment une droite.
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    • On a : AB→(102)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right) et AC→(454)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {5} \\ {4} \end{array}\right)
    On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.