Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  →

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan - Exercice 1

10 min
25
Question 1

On considère le point A(1;−2;1)A\left(1;-2;1\right) et le plan PP d'équation cartésienne 2x−5y+3z+4=02x-5y+3z+4=0 . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal HH du point AA sur le plan PP.

Correction
Pour répondre à cette question, voici la démarche à suivre :
  • Etape 1 :\red{\text{Etape 1 :}} Donner un vecteur normal du plan PP
  • Etape 2 :\red{\text{Etape 2 :}} Comme la droite (HA)\left(HA\right) est orthogonale au plan PP alors écrire l’équation paramétrique de la droite (HA)\left(HA\right)
  • Etape 3 :\red{\text{Etape 3 :}} HH appartenant à la fois au plan PP et à la droite (HA)\left(HA\right) alors résoudre le système qui en découle
    • Soit le plan PP d'équation cartésienne 2x−5y+3z+4=02x-5y+3z+4=0 . Un vecteur normal du plan PP est alors n→(2;−5;3)\overrightarrow{n} \left(2;-5;3\right)
    H(xH;yH;zH)H\left(x_{H} ;y_{H} ;z_{H} \right) étant le projeté orthogonal du point AA sur le plan PP, cela signifie que la droite (HA)\left(HA\right) est orthogonale au plan PP.
    Nous pouvons donc donner une écriture paramétrique de la droite (HA)\left(HA\right) dont un vecteur directeur u→\overrightarrow{u} est colinéaire au vecteur normal n→(2;−5;3)\overrightarrow{n} \left(2;-5;3\right) du plan PP et passant par le point AA.
    Nous allons donc prendre u→(2;−5;3)\overrightarrow{u} \left(2;-5;3\right) comme vecteur directeur de la droite (HA)\left(HA\right) .
    L'écriture paramétrique de la droite (HA)\left(HA\right) passant par le point A(1;−2;1)A\left(\pink{1};\pink{-2};\pink{1}\right) et de vecteur directeur u→(2;−5;3)\overrightarrow{u} \left(\red{2};\blue{-5};\green{3}\right) est alors :
      Soit une droite (Δ)\left(\Delta\right) définie par un point A(xA;yA;zA)A\left(\pink{x_{A}};\pink{y_{A}};\pink{z_{A}}\right) et un vecteur directeur u→(a;b;c)\overrightarrow{u}\left(\red{a};\blue{b};\green{c}\right).
      La droite (Δ)\left(\Delta\right) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{x_{A}}+\red{a}t} \\ {y} & {=} & {\pink{y_{A}}+\blue{b}t} \\ {z} & {=} & {\pink{z_{A}}+\green{c}t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
    (HA):{x=1+2ty=−2−5tz=1+3t\left(HA\right): \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{1}+\red{2}t} \\ {y} & {=} & {\pink{-2}\blue{-5}t} \\ {z} & {=} & {\pink{1}+\green{3}t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
    Le point H(xH;yH;zH)H\left({\color{blue}x_{H}} ;{\color{red}y_{H}} ;{\color{green}z_{H}} \right) appartient à la droite (HA)\left(HA\right) et au plan PP donc les coordonnées de HH vérifient le système suivant :
    {2xH−5yH+3zH+4=0xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {2{\color{blue}x_{H}} -5{\color{red}y_{H}} +3{\color{green}z_{H}} +4=0} \\ {{\color{blue}x_{H}} =1+2t} \\ {{\color{red}y_{H}} =-2-5t} \\ {{\color{green}z_{H}} =1+3t} \end{array}\right.
    {2×(1+2t)−5×(−2−5t)+3×(1+3t)+4=0xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {2\times \left(\color{blue}1+2t\right)-5\times \left(\color{red}-2-5t\right)+3\times \left(\color{green}1+3t\right)+4=0} \\ {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2-5t} \\ {z_{H} =1+3t} \end{array}\right.
    {2+4t+10+25t+3+9t+4=0xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {2+4t+10+25t+3+9t+4=0} \\ {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2-5t} \\ {z_{H} =1+3t} \end{array}\right.
    {19+38t=0xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {19+38t=0} \\ {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2-5t} \\ {z_{H} =1+3t} \end{array}\right.
    {38t=−19xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {38t=-19} \\ {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2-5t} \\ {z_{H} =1+3t} \end{array}\right.
    {t=−1938xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{19}{38} } \\ {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2-5t} \\ {z_{H} =1+3t} \end{array}\right.
    {t=−12xH=1+2tyH=−2−5tzH=1+3t\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{1}{2}} \\ {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2-5t} \\ {z_{H} =1+3t} \end{array}\right. . Maintenant que nous connaissons tt, nous allons pouvoir déterminer les coordonnées du point HH .
    {t=−12xH=1+2×(−12)yH=−2−5×(−12)zH=1+3×(−12)\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{1}{2}} \\ {x_{H} =1+2\times \left(-\frac{1}{2}\right)} \\ {y_{H} =-2-5\times \left(-\frac{1}{2}\right)} \\ {z_{H} =1+3\times \left(-\frac{1}{2}\right)} \end{array}\right.
    {t=−12xH=0yH=12zH=−12\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{1}{2}} \\ {x_{H} =0} \\ {y_{H} =\frac{1}{2}} \\ {z_{H} =-\frac{1}{2}} \end{array}\right.
    Les coordonnées du projeté orthogonal HH du point AA sur le plan PP sont alors : H(0;12;−12)H\left(0;\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)