Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Calculer un produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace - Exercice 3
10 min
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Soit ABCDEFGH un cube d'arête 8 cm .
Question 1
Calculer BC⋅BG
Correction
La face BCGF du cube est un carré. Soit C le projeté orthogonal de G sur le segment [BC] . Il en résulte donc que : BC⋅BG=BC⋅BC
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs BC et BC sont colinéaires et de même sens. Il vient alors que : BC⋅BG=BC×BC BC⋅BG=8×8 Ainsi :
BC⋅BG=64
Question 2
Soit ABCD un tétraèdre. Les unités des mesures sont en centimètres.
On note que AC=5 cm
Calculer AB⋅AC
Correction
Soit ABC un triangle dont l'on connait les mesures des 3 côtés.
On a : AB⋅AC=21[AB2+AC2−CB2]
D'après le rappel, nous savons que : AB⋅AC=21[AB2+AC2−CB2] . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait : AB⋅AC=21[62+52−92] AB⋅AC=21[36+25−81] AB⋅AC=21×(−20)
AB⋅AC=−10
Question 3
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 8 cm .
Calculer BD⋅BH
Correction
ABCDEFGH un cube d'arête 8 cm . Il en résulte que le triangle BDH est rectangle en D. Soit D le projeté orthogonal de H sur le segment [DB] . Il en résulte donc que : BD⋅BH=BD⋅BD
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs BD et BD sont colinéaires et de même sens. Il vient alors que : BD⋅BH=BD×BD BD⋅BH=BD2 Il nous faut maintenant déterminer la mesure du segment [BD]. Nous savons que le triangle DAB est rectangle en A. Nous allons utiliser le théorème de Pythagore : DB2=AD2+AB2 DB2=82+82 DB2=64+64 DB2=128 DB=128 Nous pouvons maintenant calculer BD⋅BH=BD2 Ce qui nous donne : BD⋅BH=(128)2 Ainsi :