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Loi des grands nombres

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
40
Un nouvel opérateur téléphonique propose deux forfaits.
- Le forfait Lebron James au prix unitaire de 66 euros;
- Le forfait Michael Jordan au prix unitaire de 2323 euros.
On suppose que les forfaits achetés par les clients sont indépendants.
Le nombre de forfait achetés par un client est modélisé comme suit :
- pour le forfait Lebron James par une variable aléatoire XX d'espérance 44 et variance 22;
- pour le forfait Michael Jordan par une variable aléatoire YY d'espérance 11 et variance 11.
Question 1

Soit ZZ la variable aléatoire égale au montant en euros de l'achat d’un client.
Exprimer ZZ en fonction de XX et YY .

Correction
Nous rappelons que :
  • Le forfait Lebron James au prix unitaire de 66 euros.
  • Le forfait Michael Jordan au prix unitaire de 2323 euros.
    • Il en résulte que
    Z=6X+23YZ=6X+23Y
    .
    Question 2

    Calculer l'espérance et la variance de ZZ.

    Correction
      Pour toutes variables aléatoires XX et YY, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
  • E(X+b)=E(X)+bE\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
    • D'après le rappel, par linéarité de l'espérance, on a :
    E(Z)=E(6X+23Y)E\left(Z\right)=E\left(6 X+23 Y\right)
    E(Z)=6E(X)+23E(Y)E\left(Z\right)=6 E\left(X\right)+23 E\left(Y\right)
    E(Z)=6×4+23×1E\left(Z\right)=6 \times 4+23 \times 1
    Ainsi :
    E(Z)=47E\left(Z\right)=47
    Question 3

    Calculer la variance de ZZ.

    Correction
    On suppose que les forfaits achetés par les clients sont indépendants.
    Ainsi XX et YY sont des variables indépendantes, ce qui implique que 6X6 X et 23Y23 Y sont également indépendants.
      Soient XX et YY deux variables aléatoires indeˊpendantes\red{\text{indépendantes}}, on a :
  • V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)
    • Comme V(Z)=V(6X+23Y)V\left(Z\right)=V\left(6X+23Y\right) alors :
    V(Z)=V(6X)+V(23Y)V\left(Z\right)=V\left(6 X\right)+V\left(23 Y\right)
      Pour toute variable aléatoire XX, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • V(aX)=a2V(X)V\left(aX\right)=a^2V\left(X\right)
  • V(aX+b)=a2V(X)V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)
    • V(Z)=62V(X)+232V(Y)V\left(Z\right)=6^2 V\left(X\right)+23^2 V\left(Y\right)
    V(Z)=62×2+232×1V\left(Z\right)=6^2 \times 2+23^2 \times 1
    D'où :
    V(Z)=601V\left(Z\right)=601
    Question 4
    Après avoir fait mené une étude auprès de spécialistes. Le patron de la boutique Adam Cilvert estime que 200200 personnes viennent chaque jour. Soit H200H_{200} la variable aléatoire qui, à une journée donnée, associe le chiffre d'affaires de la boutique.

    Exprimer H200H_{200} en fonction de ZZ .

    Correction
    H200H_{200} est la variable aléatoire somme\red{\text{somme}} d’un échantillon de ZZ de taille 200200.
    Ainsi :
    H200=200ZH_{200}=200Z
    Question 5

    Déterminer l'espérance et la variance de H200H_{200}.

    Correction
    Soit nn un entier naturel non nul. Soit XX une variable aléatoire définie sur un univers Ω\Omega.
    Soit SnS_n la variable aléatoire somme\red{\text{somme}} d'un échantillon de taille nn de la loi de XX.
    On a alors :
  • E(Sn)=nE(X)E\left(S_n\right)=n E(X)
  • V(Sn)=nV(X)V\left(S_n\right)=n V(X)
  • σ(Sn)=n×σ(X) \sigma\left(S_n\right)=\sqrt{n} \times \sigma(X)
    • D'après le rappel, on a :
    E(H200)=E(200Z)E\left(H_{200}\right)=E\left(200Z\right)
    E(H200)=200E(Z)E\left(H_{200}\right)=200 E\left(Z\right)
    E(H200)=200×47E\left(H_{200}\right)=200 \times 47     \;\; car E(Z)=47E\left(Z\right)=47
    Ainsi :
    E(H200)=9400E\left(H_{200}\right)=9400
    Question 6

    Déterminer la variance de H200H_{200}.

    Correction
    Soit nn un entier naturel non nul. Soit XX une variable aléatoire définie sur un univers Ω\Omega.
    Soit SnS_n la variable aléatoire somme\red{\text{somme}} d'un échantillon de taille nn de la loi de XX.
    On a alors :
  • E(Sn)=nE(X)E\left(S_n\right)=n E(X)
  • V(Sn)=nV(X)V\left(S_n\right)=n V(X)
  • σ(Sn)=n×σ(X) \sigma\left(S_n\right)=\sqrt{n} \times \sigma(X)
    • D'après le rappel, on a :
    V(H200)=V(200Z)V\left(H_{200}\right)=V\left(200Z\right)
    V(H200)=200V(Z)V\left(H_{200}\right)=200 V\left(Z\right)
    V(H200)=200×601V\left(H_{200}\right)=200 \times 601     \;\; car V(Z)=601V\left(Z\right)=601
    Il en résulte donc que :
    V(H200)=120V\left(H_{200}\right)=120 200200

    Question 7

    En utilisant l'inégalité de Bienaumé-Tchebichev, déterminer un minorant de la probabilité que le chiffre d'affaires soit strictement compris entre 99 000000 et 99 800800 euros.

    Correction
    Il s'agit de minorer P(9000<H200<9800)P(9000<H_{200}<9800) autrement dit déterminer un réel positif α∈[0;1]\alpha \in \left[0;1\right] tel que : P(9000<H200<9800)≥αP(9000<H_{200}<9800)\ge \alpha
    Nous allons commencer par écrire cette inégalité 9000<H200<98009000<H_{200}<9800 à l'aide d'une valeur absolue.
    9000<H200<9800⟺9400−400<H200<9400+4009000<H_{200}<9800 \Longleftrightarrow {\color{blue}{9400}}-400<H_{200}<{\color{blue}{9400}}+400 . Nous remarquons qu'apparait E(H200)=9400\color{blue}{E\left(H_{200}\right)=9400}
    9000<H200<9800⟺∣H200−9400∣<4009000<H_{200}<9800 \Longleftrightarrow|H_{200}-{\color{blue}{9400}}|<400
      L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }
    • Si nous voulons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il faut que l'on se ramène à l'écriture suivante : P(∣X−E(X)∣≥a)P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right) et dans notre situation à P(∣X−9400∣≥400)P\left(\left|X-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)
    Or l'événement contraire de ∣H200−9400∣<400|H_{200}-{\color{blue}{9400}}|<400 est l'événement ∣H200−9400∣≥400|H_{200}-{\color{blue}{9400}}| \ge 400.
    D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :
    P(∣H200−9400∣≥400)≤V(H200)4002P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(H_{200}\right)}}}{{\color{green}{400}}^{2} }
    P(∣H200−9400∣≥400)≤1202004002P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{{\color{red}{120200}}}{{\color{green}{400}}^{2} }
    P(∣H200−9400∣≥400)≤601800P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}
    Or : P(9000<H200<9800)=P(∣H200−9400∣<400)P(9000<H_{200}<9800)=P\left(\left|H_{200}-9400\right|<400\right) et on sait que l'événement contraire de ∣H200−9400∣<400|H_{200}-{\color{blue}{9400}}|<400 est l'événement ∣H200−9400∣≥400|H_{200}-{\color{blue}{9400}}| \ge 400 ce qui nous permet d'écrire que : P(∣H200−9400∣≥400)=1−P(∣H200−9400∣<400)P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)=1-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)
    Nous savons que :
    P(∣H200−9400∣≥400)≤601800P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}
    Il vient alors que :
    1−P(∣H200−9400∣<400)≤6018001-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}
    −P(∣H200−9400∣<400)≤601800−1-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}-1
    −P(∣H200−9400∣<400)≤−199800-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)\le -\frac{199}{800} . Ici nous allons multiplier par −1-1 et cela va changer le sens de l'inégalité.
    Finalement :
    P(9000<H200<9800)≥199800P(9000<H_{200}<9800) \ge \frac{199}{800}