Limites et fonctions composées - Exercice 1

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }36+\frac{4}{x}$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } 36+\frac{4}{x} ={\color{blue}36}$$
On pose $$X=36+\frac{4}{x}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}36}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}36}} \sqrt{X }=\sqrt{36}={\color{green}6}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{4x+1}{x+6}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4x+1}{x+6}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{4x+1}{x} \right)}{x\left(\frac{x+6}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{4x}{x} +\frac{1}{x} \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{6}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(4+\frac{1}{x} \right)}{x\left(1+\frac{6}{x} \right)}$$ . On simplifie par $$x$$ le numérateur et le dénominateur .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{1}{x} }{1+\frac{6}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\frac{1}{x} } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{6}{x} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{1}{x} }{1+\frac{6}{x} }=4$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{4x+1}{x+6} ={\color{blue}4}$$
On pose $$X=\frac{4x+1}{x+6}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}4}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}4}} \sqrt{X }=\sqrt{4}={\color{green}2}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{1}{x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{1}{x+1}={\color{blue}0}$$

On pose $$X=\frac{1}{x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0}$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} \sin{X }=\sin{0}={\color{green}0}$$

Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{\pi x-3}{2x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x-3}{2x+1}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{\pi x-3}{x} \right)}{x\left(\frac{2x+1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{\pi x}{x} -\frac{3}{x} \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\pi -\frac{3}{x} \right)}{x\left(2+\frac{1}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\pi-\frac{3}{x} }{2+\frac{1}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \pi-\frac{3}{x} } & {=} & {\pi} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{x} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\pi-\frac{3}{x} }{2+\frac{1}{x} }=\frac{\pi}{2}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x-3}{2x+1} ={\color{blue}\frac{\pi}{2}}$$
On pose $$X=\frac{\pi x-3}{2x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}\frac{\pi}{2}}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}\frac{\pi}{2}}} \cos{X }=\cos{\frac{\pi}{2} }={\color{green}0}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }-x^{2} +1$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }-x^{2} +1={\color{blue}-\infty}$$

On pose $$X=-x^{2} +1$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}-\infty }$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty}} X^{7} ={\color{green}-\infty}$$

Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\left(x-3\right)^{2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\left(x-3\right)^{2}={\color{blue}0^{+}}$$
On pose $$X=\left(x-3\right)^{2}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}3^{+}}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0^{+}}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0^{+}}} \frac{2}{X} ={\color{green}+\infty }$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }2-3x$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } } 2-3x ={\color{blue}+\infty}$$
On pose $$X=2-3x$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}-\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}+\infty}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty} } \sqrt{X }={\color{green}+\infty}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{36x^{2} -1}{x^{2}} \right)}{x^{2}\left(\frac{4x^{2} +3}{x^{2}} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{36x^{2} }{x^{2} } -\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(36-\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(4+\frac{3}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{36-\frac{1}{x^{2}} }{4+\frac{3}{x^{2}} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 36-\frac{1}{x^{2}} } & {=} & {36} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4+\frac{3}{x^{2}} } & {=} & {4} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{36-\frac{1}{x^{2}} }{4+\frac{3}{x^{2}} }=\frac{36}{4}=9$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} ={\color{blue}9}$$ .
On pose $$X=\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}-\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}9}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}9}} \sqrt{X }=\sqrt{9}={\color{green}3}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{4}{x^{2}-3x}$$.
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 4 } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2}-3x } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
Finalement : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{4}{x^{2}-3x} ={\color{blue}0}$$
On pose $$X=\frac{4}{x^{2}-3x}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}-\infty }$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} e^{X}=e^{0}={\color{green}1}$$
$$\purple{\text{Par composition :}}$$