Comment reconnaître qu'une fonction admet une asymptote horizontale ou une asymptote verticale - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x+1 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ par quotient :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

$$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{3}{2x+1}=0$$ ainsi $$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{3}{2x+1}+4 =4$$
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=4$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x$$ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\dfrac{3x-2}{x} \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} +4x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\dfrac{3x}{x} -\dfrac{2}{x} }{x\left(\dfrac{x^{2} }{x^{2} } +\dfrac{4x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3-\dfrac{2}{x} }{x\left(1+\dfrac{4}{x} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\dfrac{2}{x} } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1+\dfrac{4}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3-\dfrac{2}{x} }{x\left(1+\dfrac{4}{x} \right)}=0$$
Finalement :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}-4x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$
Il vient :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} \left(\dfrac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} -x+1}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} \left(\dfrac{2x^{2} }{x^{2} } -\dfrac{4x}{x^{2} } +\dfrac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} }{x^{2} } -\dfrac{x}{x^{2} } +\dfrac{1}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} \left(2-\dfrac{4}{x} +\dfrac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(1-\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } \right)}$$.
On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2-\dfrac{4}{x} +\dfrac{3}{x^{2} } }{1-\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\dfrac{4}{x} +\dfrac{3}{x^{2} }} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1-\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient : $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2-\dfrac{4}{x} +\dfrac{3}{x^{2} }}{1-\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } }=2$$
Finalement :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }81+\frac{1}{x}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}} 81+\frac{1}{x} ={\color{blue}81}$$
On pose $$X=81+\frac{1}{x}$$.
Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}81}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}81}} \sqrt{X }=\sqrt{81}={\color{green}9}$$
Par composition :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=9$$.