Nouveau

🤔 Bloqué sur un exercice ou une notion de cours ? Échange avec un prof sur le tchat !Découvrir  →

Vérifier qu'une fonction FF est une primitive d'une fonction ff - Exercice 4

5 min
10
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;5]\left[0;5\right] par f(x)=(1+x)exf\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}
Question 1

Montrer que la fonction FF définie sur [0;5]\left[0;5\right] par F(x)=xexF\left(x\right)=xe^{x} est une primitive de ff sur [0;5]\left[0;5\right]

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=xexF\left(x\right)=xe^{x}
On reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
F′(x)=ex+xexF'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}
On factorise par exe^{x} .
F′(x)=(1+x)exF'\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [0;5]\left[0;5\right].

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.