Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} }$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2} +1}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{6x}}e^{{\color{red}{3x^{2}+1}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2} +6}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=10x}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{10x}}e^{{\color{red}{5x^{2}+6}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2} +5x}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x+5}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{2x+5}}\right)e^{{\color{red}{x^{2} +5x}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{3} +9x^{2}-1}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=9x^{2}+18x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{9x^{2}+18x}}\right)e^{{\color{red}{3x^{3} +9x^{2}-1}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}}$$ .
$$f\left(x\right)=8xe^{2x^{2} }$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{purple}{2}}\times{\color{blue}{4x}}e^{{\color{red}{2x^{2}}}}$$
$$f\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ . La valeur de $${\color{purple}{k}}$$ ici est $${\color{purple}{2}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $${\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :