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Ce qu'il faut savoir sur les primitives

Primitives

Théorème fondamental

Définition 1
  • ff est une fonction définie sur un intervalle II. On dit que ff admet une primitive sur II si, et seulement si, il existe une fonction FF dérivable sur II dont la dérivée est ff .
  • Ainsi, pour tout réel xx de II, on a : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=6xf\left(x\right)=6x . Déterminer une primitive de ff.
Soit une fonction FF dérivable sur R\mathbb{R} et définie par F(x)=3x2F\left(x\right)=3x^{2} . FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R} .
En effet :
F′(x)=6xF'\left(x\right)=6x
.
Définition 2
  • Toute fonction continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
Définition 3
    Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • Si FF est une primitive de ff sur II, alors les primitives de ff sont les fonctions définies sur II par x↦F(x)+kx\mapsto F\left(x\right)+k où kk est une constante réelle.
  • Si x0∈Ix_{0} \in I et y0∈Iy_{0} \in I, ff admet une unique primitive FF telle que F(x0)=y0F\left(x_0\right)=y_{0}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Déterminer la primitive FF de la fonction f(x)=6xf\left(x\right)=6x tel que F(1)=8F\left(1\right)=8.
Les primitives de ff sont alors de la forme F(x)=3x2+kF\left(x\right)=3x^{2}+k avec k∈Rk\in \mathbb{R}.
Or F(1)=8F\left(1\right)=8 ainsi : 3×12+k=8⇔k=8−3⇔k=53\times 1^{2} +k=8\Leftrightarrow k=8-3\Leftrightarrow k=5
Finalement :
F(x)=3x2+5F\left(x\right)=3x^{2}+5

Les primitives usuelles à connaître

Le tableau des primitives usuelles



Le tableau des primitives des fonctions composées

Exemples de calculs de primitives

Exemple 1 : \pink{\text{Exemple 1 : }}
Déterminer les primitives de la fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=−3x+5x2+4x−2x2+3x−2f\left(x\right)=-3x+5x^{2} +\frac{4}{x} -\frac{2}{x^{2} } +\frac{3}{\sqrt{x} } -2. On obtient alors :
F(x)=−32x2+53x3+4ln⁡(x)−(−2x)+3×2x−2x+kF\left(x\right)=-\frac{3}{2} x^{2} +\frac{5}{3} x^{3} +4\ln \left(x\right)-\left(-\frac{2}{x} \right)+3\times 2\sqrt{x} -2x+k où k∈Rk \in \mathbb{R}
F(x)=−32x2+53x3+4ln⁡(x)+2x+6x−2x+kF\left(x\right)=-\frac{3}{2} x^{2} +\frac{5}{3} x^{3} +4\ln \left(x\right)+\frac{2}{x} +6\sqrt{x} -2x+k où k∈Rk \in \mathbb{R}

Exemple 2 : \pink{\text{Exemple 2 : }}Primitive de la forme u′u2{\color{blue}{\frac{u'}{u^{2}}}}
    Déterminer les primitives de la fonction ff définie sur ]25;+∞[\left]\frac{2}{5};+\infty\right[ par f(x)=6(5x−2)2f\left(x\right)=\frac{6}{\left(5x-2\right)^{2} }
Nous pouvons écrire que : f(x)=6(5x−2)2⇔f(x)=65×5(5x−2)2f\left(x\right)=\frac{6}{\left(5x-2\right)^{2} } \Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{6}{5} \times \frac{5}{\left(5x-2\right)^{2} }
On obtient alors :
F(x)=65×−15x−2+kF\left(x\right)=\frac{6}{5} \times \frac{-1}{5x-2} +k où k∈Rk \in \mathbb{R} d'où :
F(x)=−65(5x−2)+kF\left(x\right)=\frac{-6}{5\left(5x-2\right)} +k où k∈Rk \in \mathbb{R}

Exemple 3 : \pink{\text{Exemple 3 : }}Primitive de la forme u′u{\color{blue}{\frac{u'}{u}}}
    Déterminer les primitives de la fonction ff définie sur ]6;+∞[\left]6;+\infty\right[ par f(x)=43x−18f\left(x\right)=\frac{4}{3x-18 }
Nous pouvons écrire que : f(x)=43x−18⇔f(x)=43×33x−18f\left(x\right)=\frac{4}{3x-18 } \Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{4}{3} \times \frac{3}{3x-18 }
On obtient alors :
F(x)=43×ln⁡(∣3x−18∣)+kF\left(x\right)=\frac{4}{3} \times \ln\left(|3x-18|\right) +k où k∈Rk \in \mathbb{R}

Exemple 4 : \pink{\text{Exemple 4 : }}Primitive de la forme u′u{\color{blue}{\frac{u'}{\sqrt{u}}}}
    Déterminer les primitives de la fonction ff définie sur ]7;+∞[\left]7;+\infty\right[ par f(x)=95x−35f\left(x\right)=\frac{9}{\sqrt{5x-35}}
Nous pouvons écrire que : f(x)=95x−35⇔f(x)=95×55x−35f\left(x\right)=\frac{9}{\sqrt{5x-35}} \Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{9}{5} \times \frac{5}{\sqrt{5x-35} }
On obtient alors :
F(x)=95×2×5x−35+kF\left(x\right)=\frac{9}{5} \times 2 \times \sqrt{5x-35} +k où k∈Rk \in \mathbb{R} d'où :
F(x)=185×5x−35+kF\left(x\right)=\frac{18}{5} \times \sqrt{5x-35} +k où k∈Rk \in \mathbb{R}

Exemple 5 : \pink{\text{Exemple 5 : }}Primitive de la forme u′un{\color{blue}{u'u^{n}}}
    Déterminer les primitives de la fonction ff définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=2(7x−1)3f\left(x\right)=2\left(7x-1\right)^{3}
Nous pouvons écrire que : f(x)=2(7x−1)3⇔f(x)=27×7×(7x−1)3f\left(x\right)=2\left(7x-1\right)^{3} \Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{7} \times 7\times\left(7x-1\right)^{3}
On obtient alors :
F(x)=27×13+1×(7x−1)3+1+kF\left(x\right)=\frac{2}{7} \times \frac{1}{3+1} \times \left(7x-1\right)^{3+1}+k où k∈Rk \in \mathbb{R} d'où :
F(x)=114×(7x−1)4+kF\left(x\right)=\frac{1}{14} \times \left(7x-1\right)^{4} +k où k∈Rk \in \mathbb{R}

Exemple 6 : \pink{\text{Exemple 6 : }}Primitive de la forme u′eu{\color{blue}{u'e^{u}}}
    Déterminer les primitives de la fonction ff définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=e−2x+3f\left(x\right)=e^{-2x+3}
Nous pouvons écrire que : f(x)=e−2x+3⇔f(x)=1−2×(−2)×e−2x+3f\left(x\right)=e^{-2x+3} \Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{-2} \times \left(-2\right)\times e^{-2x+3}
On obtient alors :
F(x)=−12×e−2x+3+kF\left(x\right)=-\frac{1}{2} \times e^{-2x+3} +k où k∈Rk \in \mathbb{R}