Les classiques... en devoir - Exercice 1

Soit $$h\left(x\right)=x^{2} -3x+6$$ alors $$h'\left(x\right)=2x-3$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$2h'\left(x\right)=2\times \left(2x-3\right)$$
$$2h'\left(x\right)=4x-6$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x-36=-8\times \left(x^{2} -3x+6\right)+8x^{2} -20x+42$$
$$-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x-36=-8x^{2} +24x-48+8x^{2} -20x+42$$
$$-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x-36=4x-6$$
Nous venons de montrer que $$\left(E\right)$$ : $$2h'\left(x\right)=-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x+42$$ .
Il en résulte donc que la fonction $$h$$ est bien une solution de $$\left(E\right)$$ .

$$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$2f'=-8f+8x^{2} -20x+42$$ c'est à dire que $$2f'+8f=\red{8x^{2} -20x+42}$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$2h'=-8h+8x^{2} -20x+42$$ que l'on peut aussi écrire : $$2h'+8h=\red{8x^{2} -20x+42}$$
Comme $$2f'+8f=8x^{2} -20x+42$$ et que $$2h'+8h=8x^{2} -20x+42$$ alors nous pouvons écrire que :
$$2f'+8f=2h'+8h$$
$$2f'+8f-2h'-8h=0$$
$$2\left(f'-h'\right)+8\left(f-h\right)=0$$
$$2\left(f-h\right)'+8\left(f-h\right)=0$$
$$2\left(f-h\right)'=-8\left(f-h\right)$$
Il en résulte donc bien que $$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est une solution de $$2y'=-8y$$ .

Nous allons déterminer les solutions de $$2y'=-8y$$ .
$$2y'=-8y$$ équivaut à :
$$y'=-4y$$
On identifie ici que : $$a=-4$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-4x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.
D'après la question précédente, $$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est une solution de $$2y'=-8y$$
Comme $$f-h$$ est une solution de $$2y'=-8y$$ .
Il en résulte donc que :
$$f\left(x\right)-h\left(x\right)=ke^{-4x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=h\left(x\right)+ke^{-4x}$$
$$f\left(x\right)=x^{2} -3x+6+ke^{-4x}$$
Les solutions de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions $$x \mapsto x^{2} -3x+6+ke^{-4x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.