Montrer que deux droites sont coplanaires - Exercice 1

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ On note $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right)$$ respectivement les vecteurs directeurs des droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires , donc les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont pas parallèles.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$

$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {2t-1} & {=} & {2s-3} \\ {3t+4} & {=} & {-2s+6} \end{array}\right.$$ avec la première ligne on exprime $$s$$ en fonction de $$t$$, puis on remplace ensuite $$s$$ dans la $$2$$^ème équation et dans la $$3$$^ème pour déterminer la valeur de $$t$$.
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {2t-1} & {=} & {2\times \left(-t+1\right)-3} \\ {3t+4} & {=} & {-2\times \left(-t+1\right)+6} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {2t-1} & {=} & {-2t-1} \\ {3t+4} & {=} & {2t+4} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {4t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Ici, les valeurs de $$t$$ sont égales, on peut ainsi définir $$s$$.
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ On remplace maintenant les valeurs de $$t$$ et $$s$$ respectivement dans les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
$$\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {=} & {0+1} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {2\times 0-1} & {=} & {-1} \\ {z} & {=} & {3\times 0+4} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ et $$\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {=} & {1} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {2\times 1-3} & {=} & {-1} \\ {z} & {=} & {-2\times 1+6} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
Notons $$I\left(1;-1;4\right)$$ le point d'intersection entre les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
Il en résulte que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont coplanaires.