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Montrer que des vecteurs sont coplanaires - Exercice 1

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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(\mathrm{O};\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u→=i→+2j→−k→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} ; v→=j→+k→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k} et w→=−3i→−4j→+5k→\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k} .
Question 1

Calculer le vecteur 3u→−2v→+w→3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}

Correction
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u→=i→+2j→−k→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} ; v→=j→+k→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k} et w→=−3i→−4j→+5k→\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k} .
Nous pouvons alors écrire que : u→(1;2;−1)\overrightarrow{u} \left(1;2;-1\right) ,v→(0;1;1)\overrightarrow{v} \left(0;1;1\right) et w→(−3;−4;5)\overrightarrow{w} \left(-3;-4;5\right)
Il vient alors que :
3u→−2v→+w→=3(1;2;−1)−2(0;1;1)+(−3;−4;5)3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=3\left(1;2;-1\right)-2\left(0;1;1\right)+\left(-3;-4;5\right)
3u→−2v→+w→=(3;6;−3)−(0;2;2)+(−3;−4;5)3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(3;6;-3\right)-\left(0;2;2\right)+\left(-3;-4;5\right)
3u→−2v→+w→=(3−0−3;6−2−4;−3−2+5)3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(3-0-3;6-2-4;-3-2+5\right)
3u→−2v→+w→=(0;0;0)3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(0;0;0\right)
Ainsi :
3u→−2v→+w→=0→3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}

Question 2

Que peut-on en déduire pour les vecteurs u→\overrightarrow{u}, v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} .

Correction
D'après la question 11, nous savons que : 3u→−2v→+w→=0→3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}
Il vient alors que : w→=−3u→+2v→\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}
Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : u→=av→+bw→\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Il en résulte donc que les vecteurs u→\overrightarrow{u}, v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires.