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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

10 min
20
On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH.
On considère le repère (A;AB→;AD→;AE→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right)
Le point II est définie par la relation vectorielle : BI→=−23AB→+AD→+AE→\overrightarrow{BI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}
Question 1

Déterminer les coordonnées du point II . Placer ensuite II sur la figure.

Correction
On considère le repère (A;AB→;AC→;AD→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point MM il faut l'exprimer le point MM avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM→=xAB→+yAC→+zAD→\overrightarrow{AM} =\red{x}\overrightarrow{AB} +\blue{y}\overrightarrow{AC} +\purple{z}\overrightarrow{AD} alors les coordonnées de MM sont (x;y;z)\left(\red{x};\blue{y};\purple{z}\right)
Nous savons que BI→=−23AB→+AD→+AE→\overrightarrow{BI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}
D'après la relation de Chasles, on peut alors écrire que :
BA→+AI→=−23AB→+AD→+AE→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}
AI→=−23AB→+AD→+AE→−BA→\overrightarrow{AI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{BA}
AI→=−23AB→+AD→+AE→+AB→\overrightarrow{AI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}
AI→=−23AB→+AD→+AE→+33AB→\overrightarrow{AI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\frac{3}{3}\overrightarrow{AB}
AI→=13AB→+1AD→+1AE→\overrightarrow{AI}=\red{\frac{1}{3}}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}
Les coordonnées de II sont (13;1;1)\left(\red{\frac{1}{3}};\blue{1};\purple{1}\right)
Question 2

Le plan (ACI)\left(ACI\right) coupe la droite (EH)\left(EH\right) en JJ. Placer le point JJ sur la figure.

Correction
Construction du point JJ.
  • Premièrement : Dans le plan (CDHG)\left(CDHG\right), la droite (IC)\left(IC\right) coupe la droite (DH)\left(DH\right) en un point LL
  • Deuxièmement : Dans le plan (ADHE)\left(ADHE\right) la droite (LA)\left(LA\right) coupe la droite (EH)\left(EH\right) en JJ.
    • Question 3

    Démontrer que les droites (AC)\left(AC\right) et (IJ)\left(IJ\right) sont parallèles.

    Correction
    Si deux plans (P1)\left(P_1\right) et (P1)\left(P_1\right) sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) sont parallèles.
    Le plan (ACI)\left(ACI\right) est donc coupé par les deux faces parallèles (ABCD)\left(ABCD\right) et (EFGH)\left(EFGH\right) respectivement suivant les droites (AC)\left(AC\right) et (IJ)\left(IJ\right).
    Il en résulte donc que les droites (AC)\left(AC\right) et (IJ)\left(IJ\right) sont donc parallèles.