Découvrir les vecteurs dans l'espace - Exercice 1

$$\overrightarrow{FG}$$ et $$\overrightarrow{AD}$$ sont égaux à $$\overrightarrow{EH}$$ .

Soit $$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{HD} +\red{\overrightarrow{EF}} +\purple{\overrightarrow{GF}}$$
Nous savons que $$\red{\overrightarrow{EF} =\overrightarrow{DC}}$$ et que $$\purple{\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{CB}}$$
Il vient alors que :
$$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{HD} +\red{\overrightarrow{DC}} +\purple{\overrightarrow{CB}}$$
Maintenant nous pouvons calculer la relation de Chasles. Ainsi :
Ainsi :

Les vecteurs $$\overrightarrow{HD}$$ et $$\overrightarrow{GC}$$ appartiennent au plan $$\left(DHGC\right)$$ que l'on écrit plus conventionnelement $$\left(DHG\right)$$.
De plus, un représentant du vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ sur le plan $$\left(DHG\right)$$ est le vecteur $$\overrightarrow{DC}$$ .
On vient de montrer que les vecteurs $$\overrightarrow{HD}$$ et $$\overrightarrow{GC}$$ et un représentant du vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ appartiennent au plan $$\left(DHG\right)$$ .
Il en résulte donc que les vecteurs $$\overrightarrow{HD}$$ ; $$\overrightarrow{GC}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont coplanaires.

Les droites $$\left(EF\right)$$ et $$\left(AB\right)$$ sont strictement parallèles. On peut également écrire tout simplement que les droites $$\left(EF\right)$$ et $$\left(AB\right)$$ sont parallèles.

Les droites $$\left(DH\right)$$ et $$\left(HG\right)$$ sont sécantes.

Les droites $$\left(CD\right)$$ et $$\left(FG\right)$$ sont orthogonales.

D'après le rappel :

Les droites $$\left(EF\right)$$ et $$\left(AB\right)$$ sont parallèles, elles sont donc coplanaires.

Les droites $$\left(DH\right)$$ et $$\left(HG\right)$$ sont sécantes, elles sont donc coplanaires.

Les droites $$\left(CD\right)$$ et $$\left(FG\right)$$ sont orthogonales mais elles n'appartiennent pas toutes les deux à un même plan, elles ne sont donc pas coplanaires.

Dans le repère $$\left(H;\overrightarrow{HG} ;\overrightarrow{HD} ;\overrightarrow{HE} \right)$$
$$H$$ est l'origine du repère ainsi $$H\left(0;0;0\right)$$

$$\overrightarrow{HB} =1\overrightarrow{HG} +1\overrightarrow{GC} +1\overrightarrow{CB}$$

Or $$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{HD}$$ et $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{HE}$$ . Il vient alors que :

$$\overrightarrow{HB} =\red{1}\overrightarrow{HG} +\blue{1}\overrightarrow{HD} +\purple{1}\overrightarrow{HE}$$ donc les coordonnées de $$B$$ sont $$\left(\red{1};\blue{1};\purple{1}\right)$$

Nous connaissons les coordonnées du point $$B\left(\red{1};\blue{1};\purple{1}\right)$$, d'après la question $$6$$.
Nous allons déterminer maintenant les coordonnées du point $$D$$.

$$\overrightarrow{HD} =\red{0}\overrightarrow{HG} +\blue{1}\overrightarrow{HD} +\purple{0}\overrightarrow{HE}$$ donc les coordonnées de $$D\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)$$

Nous pouvons maintenant calculer les coordonnées du vecteur $$\overrightarrow{BD}$$ .
$$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{B} } \\ {y_{D} -y_{B} } \\ {z_{D} -z_{B} } \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {0-1 } \\ {1-1 } \\ {0-1 } \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {-1 } \\ {0} \\ {-1 } \end{array}\right)$$