Savoir étudier le signe avec les formes $$\cos(ax+b)$$ et $$\sin(ax+b)$$ - Exercice 1

Pour étudier le signe de la fonction $$f\left(x\right)=\sin \left(2x\right)$$ . Il faut suivre les étapes suivantes :
1^ère étape : Résolution de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ .
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\sin \left(2x\right)=0$$ . Or $$\sin \left(0\right)=0$$ . D'où :
$$\sin \left(2x\right)=\sin \left(0\right)$$
$$\sin \left(2x\right)=\sin \left(0 \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2x} & {=} & {0 +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {2x} & {=} & {\pi -0 +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2x} & {=} & {0 +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {2x} & {=} & {\pi +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{0}{2} +\frac{2k\pi}{2} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi}{2} +\frac{2k\pi}{2} } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {0 +k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi}{2} +k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Les solutions de l'équation $$\sin \left(2x\right)=0$$ sur l'intervalle $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ sont $$x=0$$ et $$x=\frac{\pi}{2}$$.
2^ème étape : Etude du signe de $$f\left(x\right)$$.
Nous travaillons sur l'intervalle $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.
Comme $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ alors $$0\le x\le \frac{\pi }{2}$$ et ainsi : $$0\le 2x\le \pi$$ .
Or nous savons que la fonction sinus est $${\color{blue}{\text{positive}}}$$ sur l'intervalle $$\left[0;\pi\right]$$.
De ce fait comme $$0\le 2x\le \pi$$ alors $$\sin \left(2x\right)\ge 0$$.
Il en résulte donc que la fonction $$f\left(x\right)=\sin \left(2x\right)$$ est $${\color{blue}{\text{positive}}}$$ sur l'intervalle $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

Pour étudier le signe de la fonction $$f\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ . Il faut suivre les étapes suivantes :
1^ère étape : Résolution de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ .
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$ . Or $$\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$ . D'où :
$$\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$$
$$\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x+\frac{\pi}{4}} & {=} & {\frac{\pi}{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x+\frac{\pi}{4}} & {=} & {-\frac{\pi}{2} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi}{4}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{3\pi}{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
L'unique solution de l'équation $$\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$ sur l'intervalle $$\left[0;\pi\right]$$ est $$x=\frac{\pi}{4}$$ .
2^ème étape : Etude du signe de $$f\left(x\right)$$.
Nous travaillons sur l'intervalle $$\left[0;\pi\right]$$.
La fonction $$f$$ s'annule uniquement pour $$x=\frac{\pi}{4}$$ sur l'intervalle $$\left[0;\pi\right]$$.
Nous allons donc étudier le signe de la fonction $$f$$ sur l'intervalle $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$ puis ensuite sur l'intervalle $$\left[\frac{\pi}{4};\pi\right]$$.

$${\color{red}{\text{Lorsque}}}$$ $$x\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$ alors $$0\le x\le \frac{\pi }{4}$$ et ainsi : $$\frac{\pi }{4}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}$$ . Or nous savons que la fonction cosinus est $${\color{blue}{\text{positive}}}$$ sur l'intervalle $$\left[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right]$$.
De ce fait comme $$\frac{\pi }{4}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}$$ alors $$\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ge 0$$.

$${\color{red}{\text{Lorsque}}}$$ $$x\in\left[\frac{\pi}{4};\pi\right]$$ alors $$\frac{\pi }{4}\le x\le \pi$$ et ainsi : $$\frac{\pi }{2}\le x+\frac{\pi }{4}\le \pi+\frac{\pi }{4}$$. D'où : $$\frac{\pi }{2}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{5\pi }{4}$$ . Or nous savons que la fonction cosinus est $${\color{blue}{\text{négative}}}$$ sur l'intervalle $$\left[\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{4}\right]$$.
De ce fait comme $$\frac{\pi }{2}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{5\pi }{4}$$ alors $$\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 0$$.

Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de $$f\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ sur l'intervalle $$\left[0;\pi\right]$$.