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Exercices types : 33ème partie : variation des fonctions cos(ax+b) et sin(ax+b) - Exercice 1

30 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] par f(x)=3cos⁡(x)sin⁡(x)f\left(x\right)=3\cos \left(x\right)\sin \left(x\right) . On note Cf\mathscr{C_{f}} sa courbe représentative.

Etudiez la parité de ff. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction

ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
La fonction cosinus est paire.

ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.
f(−x)=3cos⁡(−x)sin⁡(−x)f\left(-x\right)=3\cos \left(-x\right)\sin \left(-x\right) équivaut successivement à :
f(−x)=3cos⁡(x)×(−sin⁡(x))f\left(-x\right)=3\cos \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
f(−x)=−3cos⁡(x)×sin⁡(x)f\left(-x\right)=-3\cos \left(x\right)\times \sin \left(x\right)
f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 2

    Montrer que ff est π−\pi -périodique.

    Correction
  • ff est T−T-périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)f\left(x+T\right)=f\left(x\right)
  • cos⁡(x+π)=−cos⁡(x)\cos \left(x+\pi \right)=-\cos \left(x\right) et sin⁡(x+π)=−sin⁡(x)\sin \left(x+\pi \right)=-\sin \left(x\right)
    • f(x+π)=3cos⁡(x+π)sin⁡(x+π)f\left(x+\pi \right)=3\cos \left(x+\pi \right)\sin \left(x+\pi \right)
    f(x+π)=3×(−cos⁡(x))×(−sin⁡(x))f\left(x+\pi \right)=3\times \left(-\cos \left(x\right)\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
    f(x+π)=3cos⁡(x)sin⁡(x)f\left(x+\pi \right)=3\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)
    f(x+π)=f(x)f\left(x+\pi \right)=f\left(x\right)

    ff est bien π−\pi -périodique.
    Question 3
    Rappel : cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)\cos ^{2} \left(x\right)-\sin ^{2} \left(x\right)=\cos \left(2x\right)

    Calculer la dérivée de ff.

    Correction
    ff est dérivable sur [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] .
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3cos⁡(x)u\left(x\right)=3\cos \left(x\right) et v(x)=sin⁡(x)v\left(x\right)=\sin \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=−3sin⁡(x)u'\left(x\right)=-3\sin \left(x\right) et v′(x)=cos⁡(x)v'\left(x\right)=\cos \left(x\right).
    Il vient que :

    f′(x)=−3sin⁡(x)×sin⁡(x)+3cos⁡(x)×cos⁡(x)f'\left(x\right)=-3\sin \left(x\right)\times \sin \left(x\right)+3\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)
    f′(x)=−3sin⁡2(x)+3cos⁡2(x)f'\left(x\right)=-3\sin ^{2} \left(x\right)+3\cos ^{2} \left(x\right)
    f′(x)=3(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))f'\left(x\right)=3\left(\cos ^{2} \left(x\right)-\sin ^{2} \left(x\right)\right)
    f′(x)=3cos⁡(2x)f'\left(x\right)=3\cos \left(2x\right)
    . On a utilisé ici le rappel :)
    Question 4

    Etudiez le signe de f′f' et en déduire le tableau de variation de ff sur [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] .

    Correction
    Il va nous falloir étudier le signe de f′(x)=3cos⁡(2x)f'\left(x\right)=3\cos \left(2x\right) sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right].
    Il faut suivre les étapes suivantes :
    1ère étape : Résolution de l'équation f′(x)=0f'\left(x\right)=0 .
    f′(x)=0f'\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
    3cos⁡(2x)=0⇔cos⁡(2x)=03\cos \left(2x\right)=0\Leftrightarrow \cos \left(2x\right)=0 . Or cos⁡(π2)=0\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0 . D'où :
    cos⁡(2x)=cos⁡(π2)\cos \left(2x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)

    cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    cos⁡(2x)=cos⁡(π2)⇔{2x=π2+2kπou−2x=−π2+2kπ\cos \left(2x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2x} & {=} & {\frac{\pi}{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {-2x} & {=} & {-\frac{\pi}{2} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z} équivaut successivement à :
    {x=π4+2kπ2oux=−π4+2kπ2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi }{2}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi}{4} +\frac{2k\pi }{2}} \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
    {x=π4+kπoux=−π4+kπ\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi}{4}+k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi}{4} +k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
    Les solutions de l'équation 3cos⁡(2x)=03\cos \left(2x\right)=0 sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] sont x=−π4x=-\frac{\pi}{4} et x=π4x=\frac{\pi}{4} .
    2ème étape : Etude du signe de f′(x)f'\left(x\right).
    Nous travaillons sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right].
    La fonction f′f' s'annule pour x=−π4x=-\frac{\pi}{4} et pour x=π4x=\frac{\pi}{4} sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right].
    Nous allons donc étudier le signe de la fonction f′f' sur l'intervalle [−π2;−π4]\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right] puis sur l'intervalle [−π4;π4]\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right] et enfin [π4;π2]\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right].
  • Lorsque{\color{red}{\text{Lorsque}}} x∈[−π2;−π4]x\in\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right] alors −π2≤x≤−π4-\frac{\pi}{2}\le x\le -\frac{\pi }{4} et ainsi : −π≤2x≤−π2-\pi\le 2x\le -\frac{\pi }{2} . Or nous savons que la fonction cosinus est neˊgative{\color{blue}{\text{négative}}} sur l'intervalle [−π;−π2]\left[-\pi;-\frac{\pi }{2}\right].
    De ce fait comme −π≤2x≤−π2-\pi\le 2x\le -\frac{\pi }{2} alors cos⁡(2x)≤0\cos \left(2x\right)\le 0.
  • Lorsque{\color{red}{\text{Lorsque}}} x∈[−π4;π4]x\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right] alors −π4≤x≤π4-\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi}{4} et ainsi : −π2≤2x≤π2-\frac{\pi }{2}\le 2x\le \frac{\pi }{2}. Or nous savons que la fonction cosinus est positive{\color{blue}{\text{positive}}} sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right].
    De ce fait comme −π2≤2x≤π2-\frac{\pi }{2}\le 2x\le \frac{\pi }{2} alors cos⁡(2x)≥0\cos \left(2x\right)\ge 0.
  • Lorsque{\color{red}{\text{Lorsque}}} x∈[π4;π2]x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right] alors π4≤x≤π2\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi }{2} et ainsi : π2≤2x≤π\frac{\pi }{2}\le 2x\le \pi . Or nous savons que la fonction cosinus est neˊgative{\color{blue}{\text{négative}}} sur l'intervalle [π2;π]\left[\frac{\pi }{2};\pi\right].
    De ce fait comme π2≤2x≤π\frac{\pi }{2}\le 2x\le \pi alors cos⁡(2x)≤0\cos \left(2x\right)\le 0.
    • Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de f′(x)=3cos⁡(2x)f'\left(x\right)=3\cos \left(2x\right) sur l'intervalle [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] et le tableau de variation de ff.
    Question 5

    Déterminer l'équation de la tangente à Cf\mathscr{C_{f}} au point d'abscisse 00.

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=0a=0, ce qui donne, y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right).
    Il vient que :
    f′(0)=3cos⁡(2×0)=3f'\left(0\right)=3\cos \left(2\times0\right)=3
    f(0)=3cos⁡(0)sin⁡(0)=0f\left(0\right)=3\cos \left(0\right)\sin \left(0\right)=0
    Il en résulte donc que :
    y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) équivaut successivement à :
    y=3×(x−0)+0y=3\times\left(x-0\right) +0
    y=3xy=3x