Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

$$f$$ est une fonction rationnelle, donc elle définie pour toutes les valeurs sauf pour celles qui l'annulent.
Or nous savons que :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ ainsi $$1\le 2+\cos \left(x\right)\le 3$$ et de ce fait : $$2+\cos \left(x\right)>0$$.
Cela signifie que le dénominateur ne s'annule jamais.
La fonction $$f$$ est bien définie sur $$\mathbb{R}$$ .

$$f\left(-x\right)=\frac{3\sin \left(-x\right)}{2+\cos \left(-x\right)}$$ équivaut successivement à
$$f\left(-x\right)=\frac{-3\sin \left(x\right)}{2+\cos \left(x\right)}$$
$$f\left(-x\right)=-\frac{3\sin \left(x\right)}{2+\cos \left(x\right)}$$
La fonction $$f$$ est une fonction impaire.

Soit $$f\left(x\right)=\frac{3\sin \left(x\right)}{2+\cos \left(x\right)}$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=3\sin \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=2+\cos \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=3\cos \left(x\right)$$ et $$v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{3\cos \left(x\right)\times \left(2+\cos \left(x\right)\right)-3\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)}{\left(2+\cos \left(x\right)\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6\cos \left(x\right)+3\cos ^{2} \left(x\right)+3\sin ^{2} \left(x\right)}{\left(2+\cos \left(x\right)\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6\cos \left(x\right)+3\times \left(\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)\right)}{\left(2+\cos \left(x\right)\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6\cos \left(x\right)+3\times 1}{\left(2+\cos \left(x\right)\right)^{2} }$$

Nous savons d'après la question précédente, que : $$f'\left(x\right)=\frac{6\cos \left(x\right)+3}{\left(2+\cos \left(x\right)\right)^{2} }$$
Pour tout réel $$x \in \left[0;2\pi\right]$$, on peut affirmer que $$\left(2+\cos \left(x\right)\right)^{2}>0$$. De ce fait, le signe de $$f'$$ ne dépend que de son dénominateur $$6\cos \left(x\right)+3$$.
On va procéder en deux étapes.
Etape 1 : on commence par calculer : $$6\cos \left(x\right)+3=0$$.
$$6\cos \left(x\right)+3 =0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{-1 }{2}$$
Or $$\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{-1 }{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ ou }} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
Les solutions sur l'intervalle $$\left[0;2\pi\right]$$ sont $$S=\left\{\frac{2\pi }{3} ;\frac{4\pi }{3} \right\}$$.
Etape 2 : on résout : $$6\cos \left(x\right)+3\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$6\cos \left(x\right)+3 \ge 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)\ge -\frac{1 }{2}$$ . Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)\ge -\frac{1 }{2}$$. Ainsi entre $$\left[0;\frac{2\pi }{3} \right]$$ et $$\left[\frac{4\pi }{3} ;2\pi \right]$$ on aura $$\cos \left(x\right)\ge -\frac{1 }{2}$$, c'est-à-dire $$\cos \left(x\right) +\frac{1 }{2} \ge 0$$. Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :