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Fonctions trigonométriques
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 3
20 min
40
Soit la fonction
f
f
f
définie sur l'intervalle
I
=
]
−
π
2
;
π
2
[
I=\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[
I
=
]
−
2
π
;
2
π
[
par
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
sin
(
x
)
.
Question 1
Etudier la parité de la fonction
f
f
f
.
Que peut-on en déduire ?
Correction
cos
(
−
x
)
=
cos
(
x
)
\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)
cos
(
−
x
)
=
cos
(
x
)
et
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
f
(
−
x
)
=
sin
(
−
x
)
cos
(
−
x
)
f\left(-x\right)=\frac{\sin \left(-x\right)}{\cos \left(-x\right)}
f
(
−
x
)
=
cos
(
−
x
)
sin
(
−
x
)
f
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
cos
(
x
)
f\left(-x\right)=\frac{-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
f
(
−
x
)
=
cos
(
x
)
−
sin
(
x
)
Ainsi
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
La fonction
f
f
f
est donc impaire.
Sa courbe représentative admet comme centre de symétrie l'origine du repère.
Question 2
Déterminer la limite la fonction
f
f
f
en
π
2
\frac{\pi }{2}
2
π
.
Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?
Correction
Comme
I
=
]
−
π
2
;
π
2
[
I=\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[
I
=
]
−
2
π
;
2
π
[
alors on va calculer la limite à gauche de
π
2
\frac{\pi }{2}
2
π
, c'est-à-dire
lim
x
→
π
2
−
f
(
x
)
\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } f\left(x\right)
x
→
2
π
−
lim
f
(
x
)
Il vient alors que
lim
x
→
π
2
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
π
2
−
sin
(
x
)
cos
(
x
)
\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
x
→
2
π
−
lim
f
(
x
)
=
x
→
2
π
−
lim
cos
(
x
)
sin
(
x
)
lim
x
→
π
2
−
sin
(
x
)
=
1
lim
x
→
π
2
−
cos
(
x
)
=
0
+
}
par quotient
lim
x
→
π
2
−
sin
(
x
)
cos
(
x
)
=
+
∞
.
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \sin \left(x\right)} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \cos \left(x\right)} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} =+\infty .
x
→
2
π
−
lim
sin
(
x
)
x
→
2
π
−
lim
cos
(
x
)
=
=
1
0
+
⎭
⎬
⎫
par quotient
x
→
2
π
−
lim
cos
(
x
)
sin
(
x
)
=
+
∞.
La courbe admet pour asymptote verticale la droite d'équation
x
=
π
2
x=\frac{\pi }{2}
x
=
2
π
.
Question 3
Calculer
f
′
(
x
)
f'\left(x\right)
f
′
(
x
)
.
Correction
Ici on reconnait la forme
(
u
v
)
′
=
u
′
v
−
u
v
′
v
2
\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
(
v
u
)
′
=
v
2
u
′
v
−
u
v
′
avec
u
(
x
)
=
sin
(
x
)
u\left(x\right)=\sin \left(x\right)
u
(
x
)
=
sin
(
x
)
et
v
(
x
)
=
cos
(
x
)
v\left(x\right)=\cos \left(x\right)
v
(
x
)
=
cos
(
x
)
.
Ainsi
u
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)
u
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
et
v
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)
v
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
.
Pour tout réel
x
∈
]
−
π
2
;
π
2
[
x\in \left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[
x
∈
]
−
2
π
;
2
π
[
, il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
équivaut successivement à
f
′
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
1
car
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
Question 4
Déterminer le tableau de variation de la fonction
f
f
f
sur l'intervalle
]
−
π
2
;
π
2
[
\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[
]
−
2
π
;
2
π
[
Correction
Pour tout réel
x
∈
]
−
π
2
;
π
2
[
x\in \left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[
x
∈
]
−
2
π
;
2
π
[
, on sait que
cos
2
(
x
)
\cos ^{2} \left(x\right)
cos
2
(
x
)
ne s'annule pas et que
cos
2
(
x
)
>
0
\cos ^{2} \left(x\right)>0
cos
2
(
x
)
>
0
.
Il en résulte que
f
′
(
x
)
>
0
f'\left(x\right)>0
f
′
(
x
)
>
0
et que
f
f
f
est strictement croissante sur
]
−
π
2
;
π
2
[
\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[
]
−
2
π
;
2
π
[
.
On en déduit le tableau de variation ci-dessous
Question 5
Déterminer une équation de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
tangente à la courbe
C
f
C_{f}
C
f
au point d'abscisse
0
0
0
.
Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse
0
0
0
est donnée par la formule :
y
=
f
′
(
0
)
(
x
−
0
)
+
f
(
0
)
y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
y
=
f
′
(
0
)
(
x
−
0
)
+
f
(
0
)
Or
f
(
0
)
=
0
f\left(0\right)=0
f
(
0
)
=
0
et
f
′
(
0
)
=
1
f'\left(0\right)=1
f
′
(
0
)
=
1
.
Il en résulte que l'équation de la tangente est
y
=
x
y=x
y
=
x