Problèmes utilisant la fonction racine carré - Exercice 1
20 min
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La fonction f est définie sur R par : f(x)=x2+11 .
Question 1
Déterminer la limite de f en −∞. Que peut-on en déduire graphiquement?
Correction
Si x→+∞limf(x)=l où l est une valeur finie alors la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y=l Si x→−∞limf(x)=l où l est une valeur finie alors la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y=l
Il s'agit d'une limite par composition. On commence par calculer x→−∞limx2+11. Ainsi : x→−∞limx2+11=0 On pose X=x2+11. Lorsque x tend vers −∞ alors X tend vers 0. Or : X→0limX=0=0 Par composition :
x→−∞limx2+11=0
Interprétation graphique : la courbe Cf admet une asymptote horizontale d'équation y=0.
Question 2
Déterminer la limite de f en +∞. Que peut-on en déduire graphiquement?
Correction
Si x→+∞limf(x)=l où l est une valeur finie alors la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y=l Si x→−∞limf(x)=l où l est une valeur finie alors la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y=l
Il s'agit d'une limite par composition. On commence par calculer x→+∞limx2+11. Ainsi : x→+∞limx2+11=0 On pose X=x2+11. Lorsque x tend vers +∞ alors X tend vers 0. Or : X→0limX=0=0 Par composition :
x→+∞limx2+11=0
Interprétation graphique : la courbe Cf admet une asymptote horizontale d'équation y=0.
Question 3
On admet que h est dérivable sur R.
Calculer la dérivée de h sachant que : h(x)=x2+11
Correction
(vu)′=v2u′v−uv′
On pose avec u(x)=1 et v(x)=1+x2 Ainsi : u′(x)=0 et v′(x)=2x Il vient alors que : h′(x)=(1+x2)20×(1+x2)−1×2x Finalement :
h′(x)=(1+x2)2−2x
Question 4
On admet que f est dérivable sur R. La fonction f est définie sur R par : f(x)=x2+11
Calculer f′(x) pour tout réel x, étudier son signe et en déduire le tableau de variation complet de f.
Correction
(u)′=2uu′
La fonction f est définie sur R par : f(x)=x2+11 que l'on peut écrire f(x)=h(x) où h est la fonction traitée à la question 3. En appliquant la formule, on aura : (h)′=2hh′. Ainsi : f′(x)=21+x21(1+x2)2−2x Finalement :
f′(x)=(1+x2)21+x21−x
Pour tout réel x, on vérifie aisément que x2+11>0 et que (1+x2)2>0 Donc la dérivée f′ est du signe de son numérateur −x. Ainsi , lorsque x>0 alors −x<0 et lorsque x<0 alors −x>0. Le numérateur s'annule donc pour x=0. Nous allons traduire l'ensemble de ces données dans un tableau de variation complet, il vient alors que :