Schéma de composition - Exercice 1

$$\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{2x+3}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {e^{\purple{X}} =e^{2x+3} } \\ \end{array}$$
Nous avons donc $$f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)$$ où $$\red{u}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$\red{u\left(x\right)}=2x +3$$ et $$\blue{v}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$\blue{v\left(x\right)}=e^{x}$$ . Il en résulte donc que $$f$$ est aussi définie sur $$\mathbb{R}$$ .

$$\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{x^{2}+1}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {\sqrt{\purple{X}} =\sqrt{x^{2}+1} } \\ \end{array}$$
Nous avons donc $$f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)$$ où $$\red{u}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$\red{u\left(x\right)}=x^{2} +1$$ et $$\blue{v}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$\blue{v\left(x\right)}=\sqrt{x}$$ . Il en résulte donc que $$f$$ est aussi définie sur $$\mathbb{R}$$ .

$$\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\frac{x}{\underbrace{x-1}_{} } } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {e^{\purple{X}} =e^{\frac{x}{x-1}} } \\ \end{array}$$
Nous avons donc $$f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)$$ où $$\red{u}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}-\left\{1\right\}$$ par $$\red{u\left(x\right)}=\frac{x}{x-1}$$ et $$\blue{v}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$\blue{v\left(x\right)}=e^{x}$$ . Il en résulte donc que $$f$$ est définie sur $$\mathbb{R}-\left\{1\right\}$$ .

$$\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{5x^{2}+x+10}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {\ln\left({\purple{X}}\right)=\ln\left(5x^{2}+x+10\right) } \\ \end{array}$$
Nous avons donc $$f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)$$ où $$\red{u}$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$\red{u\left(x\right)}=5x^{2}+x+10$$ et $$\blue{v}$$ est la fonction définie sur $$\left]0;+\infty\right[$$ par $$\blue{v\left(x\right)}=\ln\left(x\right)$$ . Il en résulte donc que $$f$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$ .