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Les dérivées composées : La forme eue^{u} - Exercice 1

20 min
40
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur R\mathbb{R}.
Question 1

f(x)=e9x+2f\left(x\right)=e^{9x+2}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=9x+2u\left(x\right)=9x+2 et donc u′(x)=9u'\left(x\right)=9.
    D'où
    f′(x)=9e9x+2f'\left(x\right)=9e^{9x+2}

    Question 2

    f(x)=2e−xf\left(x\right)=2e^{-x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=−xu\left(x\right)=-x et donc u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1.
    D'où
    f′(x)=−2e−xf'\left(x\right)=-2e^{-x}
    Question 3

    f(x)=3e2x+5f\left(x\right)=3e^{2x+5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=2x+5u\left(x\right)=2x+5 et donc u′(x)=2u'\left(x\right)=2.
    D'où f′(x)=3×2×e2x+5⇔f'\left(x\right)=3\times 2\times e^{2x+5} \Leftrightarrow
    f′(x)=6e2x+5f'\left(x\right)=6e^{2x+5}
    Question 4

    f(x)=5ex2+x+1f\left(x\right)=5e^{x^{2} +x+1}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=x2+x+1u\left(x\right)=x^{2}+x+1 et donc u′(x)=2x+1u'\left(x\right)=2x+1.
    f′(x)=5(2x+1)ex2+x+1f'\left(x\right)=5\left(2x+1\right)e^{x^{2} +x+1}
    Question 5

    f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x}

    Correction
    (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×e−x+x×(−e−x)f'\left(x\right)=1\times e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=e−x−xe−xf'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} -x{\color{blue}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(1−x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(1-x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 6

    f(x)=5xe3x+1f\left(x\right)=5xe^{3x+1}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=5xu\left(x\right)=5x et v(x)=e3x+1v\left(x\right)=e^{3x+1} .
    Ainsi u′(x)=5u'\left(x\right)=5 et v′(x)=3e3x+1v'\left(x\right)=3e^{3x+1} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=5e3x+1+5x×3e3x+1f'\left(x\right)=5e^{3x+1} +5x\times 3e^{3x+1}
    f′(x)=5e3x+1+15xe3x+1f'\left(x\right)=5{\color{blue}{e^{3x+1}}} +15x{\color{blue}{e^{3x+1}}}
    Ainsi :
    f′(x)=e3x+1(5+15x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{3x+1}}} \left(5+15x\right)
    .
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 7

    f(x)=(3x+2)e2x+5f\left(x\right)=\left(3x+2\right)e^{2x+5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 et v(x)=e2x+5v\left(x\right)=e^{2x+5} .
    Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=2e2x+5v'\left(x\right)=2e^{2x+5} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=3e2x+5+(3x+2)×2e2x+5f'\left(x\right)=3e^{2x+5} +\left(3x+2\right)\times 2e^{2x+5}
    f′(x)=3e2x+5+3x×2e2x+5+2×2e2x+5f'\left(x\right)=3e^{2x+5} +3x\times 2e^{2x+5} +2\times 2e^{2x+5}
    f′(x)=3e2x+5+6xe2x+5+4e2x+5f'\left(x\right)=3e^{2x+5} +6xe^{2x+5} +4e^{2x+5}
    f′(x)=6xe2x+5+7e2x+5f'\left(x\right)=6x{\color{blue}{e^{2x+5}}} +7{\color{blue}{e^{2x+5}}}
    f′(x)=e2x+5(6x+7)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{2x+5}}} \left(6x+7\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 8

    f(x)=(4x+1)e−6x+8f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-6x+8}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=4x+1u\left(x\right)=4x+1 et v(x)=e−6x+8v\left(x\right)=e^{-6x+8}.
    Ainsi u′(x)=4u'\left(x\right)=4 et v′(x)=−6e−6x+8v'\left(x\right)=-6e^{-6x+8} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=4×e−6x+8+(4x+1)×(−6e−6x+8)f'\left(x\right)=4\times e^{-6x+8} +\left(4x+1\right)\times \left(-6e^{-6x+8} \right)
    f′(x)=4e−6x+8+4x×(−6e−6x+8)+1×(−6e−6x+8)f'\left(x\right)=4e^{-6x+8} +4x\times \left(-6e^{-6x+8} \right)+1\times \left(-6e^{-6x+8} \right)
    f′(x)=4e−6x+8−24xe−6x+8−6e−6x+8f'\left(x\right)=4e^{-6x+8} -24xe^{-6x+8} -6e^{-6x+8}
    f′(x)=−2e−6x+8−24xe−6x+8f'\left(x\right)=-2{\color{blue}{e^{-6x+8}}} -24x{\color{blue}{e^{-6x+8}}}
    f′(x)=e−6x+8(−2−24x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-6x+8}}} \left(-2-24x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 9

    f(x)=x2e−xf\left(x\right)=x^{2} e^{-x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2xe−x+x2×(−e−x)f'\left(x\right)=2xe^{-x} +x^{2} \times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=2xe−x−x2e−xf'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{-x}}} -x^{2} {\color{blue}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(2x−x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(2x-x^{2} \right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 10

    f(x)=e3x+5ex+xf\left(x\right)=\frac{e^{3x+5} }{e^{x} +x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=e3x+5u\left(x\right)=e^{3x+5} et v(x)=ex+xv\left(x\right)=e^{x} +x.
    Ainsi u′(x)=3e3x+5u'\left(x\right)=3e^{3x+5} et v′(x)=ex+1v'\left(x\right)=e^{x} +1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=3e3x+5(ex+x)−e3x+5(ex+1)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{3x+5} \left(e^{x} +x\right)-e^{3x+5} \left(e^{x} +1\right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e3x+5×ex+3e3x+5×x−(e3x+5×ex+e3x+5)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{3x+5} \times e^{x} +3e^{3x+5} \times x-\left(e^{3x+5} \times e^{x} +e^{3x+5} \right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e3x+5+x+3xe3x+5−(e3x+5+x+e3x+5)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{3x+5+x} +3xe^{3x+5} -\left(e^{3x+5+x} +e^{3x+5} \right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e4x+5+3xe3x+5−(e4x+5+e3x+5)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{4x+5} +3xe^{3x+5} -\left(e^{4x+5} +e^{3x+5} \right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e4x+5+3xe3x+5−e4x+5−e3x+5(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{4x+5} +3xe^{3x+5} -e^{4x+5} -e^{3x+5} }{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=2e4x+5+3xe3x+5−e3x+5(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{4x+5} +3xe^{3x+5} -e^{3x+5} }{\left(e^{x} +x\right)^{2} }