Etudier la convexité d'une fonction $$f$$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $$f$$ - Exercice 6

Soit $$f\left(x\right)=3{\left(2x+1\right)}^4$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Premièrement : Calculons $$f'\left(x\right)$$
On reconnaît ici $$u^{n}$$ où $$u\left(x\right)=2x+1$$ et $$n=4$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=3\times 4\times 2\times {\left(2x+1\right)}^3$$
$$f'\left(x\right)=24{\left(2x+1\right)}^3$$
Deuxièmement : Calculons $$f''\left(x\right)$$
On reconnaît ici $$u^{n}$$ où $$u\left(x\right)=2x+1$$ et $$n=3$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$.
Il en résulte que :
$$f''\left(x\right)=24{\times 3\times 2\times \left(2x+1\right)}^2$$
$$f''\left(x\right)=144{\left(2x+1\right)}^2$$
Pour tout réel $$x \in\left]-\infty;+\infty\right[$$ , on vérifie aisément que : $$f''\left(x\right)\ge0$$
En effet, $$144>0$$ et $${\left(2x+1\right)}^2\ge0$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :