Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 6 juin 2024 . Exercice 4. Dérivation & suites - Exercice 1
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Partie A. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;+∞[ par f(x)=x+1 On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.
Question 1
Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;+∞[.
Correction
Dans les hypothèses, on admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle [0;+∞[.
(u)′=2uu′
On reconnaît ici u où u(x)=x+1. Ainsi u′(x)=1. Il en résulte que :
f′(x)=2x+11
Soit x∈[0;+∞[, la fonction x↦x+1 est alors à valeurs strictement positives. Le numérateur étant également strictement positif, il en résulte donc que pour tout réel x∈[0;+∞[ , on a : f′(x)≥0. La fonction f est croissante sur l'intervalle [0;+∞[.
Question 2
Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0;+∞[ : f(x)−x=x+1+x−x2+x+1.
Correction
Soit x∈[0;+∞[. f(x)−x=x+1−x . Nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. f(x)−x=x+1+x(x+1−x)×(x+1+x) . On reconnait l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 f(x)−x=x+1+x(x+1)2−x2 f(x)−x=x+1+xx+1−x2 Ainsi :
f(x)−x=x+1+x−x2+x+1
Question 3
En déduire que sur l'intervalle [0; +∞[ l'équation f(x)=x admet pour unique solution: ℓ=21+5 .
Correction
Soit x∈[0;+∞[. f(x)=x équivaut successivement à : f(x)−x=0 D'après la question 2, nous avons démontré que f(x)−x=x+1+x−x2+x+1 Ainsi : x+1+x−x2+x+1=0 Nous savons que x∈[0;+∞[ et de ce fait le dénominateur x+1+x est strictement positif.
BA=0⇔A=0 et B=0.
x+1+x−x2+x+1=0 −x2+x+1=0 et x+1+x=0 Il nous fait résoudre −x2+x+1=0. On reconnait un polynôme du second degré. Δ=12−4×(−1)×1=5 On a donc deux racines réelles distinctes : x1=−2−1−5=21+5⩾0 d'où : x1=21+5⩾0 x2=−2−1+5<0 donc n'est pas solution de l'équation sur [0;+∞[ L'équation f(x)=x admet donc une unique solution sur l'intervalle [0;+∞[ notée ℓ=21+5 .
Question 4
Partie B. On considère la suite ( un ) définie par u0=5 et pour tout entier naturel n, par un+1=f(un) où f est la fonction étudiée dans la partie A. On admet que la suite de terme général un est bien définie pour tout entier naturel n.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 1⩽un+1⩽un .
Correction
Pour tout entier naturel n, posons la propriété Pn:1⩽un+1⩽un Etape d’initialisation On a : u0=5 u1=f(u0)=f(5)=5+1=6. Ainsi : 1⩽u1⩽u0 . La propriété P0 est vraie. Etape d’heˊreˊditeˊ On suppose qu'il existe un entier k tel que la propriété Pk soit vraie c'est-à-dire : 1⩽uk+1⩽uk et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1 c'est-à-dire : 1⩽uk+2⩽uk+1 Par hypothèse de récurrence, 1⩽uk+1⩽uk , orf:x↦x+1 une fonction croissante sur [0;+∞[ et donc croissante en particulier sur [1;+∞[. L'ordre est donc conservé , ainsi : f(1)≤f(uk+1)≤f(uk) . Comme f(x)=x+1 alors : f(uk)=uk+1 et f(uk+1)=uk+2 . Il vient alors que : f(1)≤uk+1≤uk+2 . De plus : f(1)=2 Ainsi : 1≤2≤uk+1≤uk+2 Finalement : 1⩽uk+2⩽uk+1 Ainsi la propriété Pk+1 est vraie. Conclusion Puisque la propriété P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, on a Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel n, 1⩽un+1⩽un .
Question 5
En déduire que la suite (un) converge.
Correction
D'après la question 2 nos avons montré que pour tout entier naturel n, on a 1⩽un+1⩽un . Comme un+1⩽un cela signifie que la suite (un) est décroissante. Comme 1⩽un cela signifie que la suite (un) est minorée par 1.
Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite (un) était minorée par 1 car : un≥1. De plus, la suite (un) est décroissante. D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un) est convergente et admet donc une limite que l'on note ℓ où ℓ≥1
Question 6
Démontrer que la suite (un) converge vers ℓ=21+5.
Correction
La fonction f est continue sur [0;+∞[ .
La suite (un) est convergente et admet donc une limite que l'on note ℓ.
un+1=f(un)
D'après le théorème du point fixe , ℓ est une solution de l'équation f(x)=x D'après la question 3, l'équation f(x)=x admet donc une unique solution sur l'intervalle [0;+∞[ notée ℓ=21+5 .