Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 6 juin 2024 . Exercice 2. Fonction exponentielle & convexité - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{-}} \mathrm{e}^x} & {=} & {\mathrm{e}} \\ {\lim\limits_{x\to 1^{-}} x-1} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ On en déduit que la courbe $$\mathscr{C}$$ admet une asymptote verticale, d'équation $$x=1$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } \mathrm{e}^x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x-1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$

$$f$$ est dérivable sur $$]-\infty ; 1[$$
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=\mathrm{e}^x$$ et $$v\left(x\right)=x-1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=\mathrm{e}^x$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f^{\prime}(x) =\frac{{\color{blue}{\mathrm{e}^x}} \times(x-1)-{\color{blue}{\mathrm{e}^x}} \times 1}{(x-1)^2}$$ . On factorise maintenant par $${\color{blue}{\mathrm{e}^x}}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{{\color{blue}{\mathrm{e}^x}} \times(x-1-1)}{(x-1)^2}$$
Ainsi :

D'après la question précédente, nous savons que pour tout $$x\in \left]-\infty ; 1\right[$$ on a $$f^{\prime}(x)=\frac{(x-2) \mathrm{e}^x}{(x-1)^2}$$.
Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ; 1\right[$$, on vérifie aisément que $$(x-1)^2>0$$ et $$\mathrm{e}^x>0$$.
Le signe de $$f'$$ dépend alors du numérateur $$x-2$$ .
$$x-2\ge 0$$
$$x\ge -2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x-2$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-2$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-2;1\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

On admet que pour tout réel $$x$$ de l'intervalle $$\left]-\infty ; 1\right[$$, on a $$f^{\prime \prime}(x)=\frac{\left(x^2-4 x+5\right) \mathrm{e}^x}{(x-1)^3}$$ .
Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ; 1\right[$$, on vérifie aisément que $$(x-1)^3<0$$ car sur cet intervalle $$x-1<0$$.
De plus, $$\mathrm{e}^x>0$$ . Il nous faut étudier le signe de $$x^2-4 x+5$$ sur l'intervalle $$\left]-\infty ; 1\right[$$ .
$$\Delta=(-4)^2-4 \times 1 \times 5=-4$$.
Comme $$\Delta <0$$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Comme $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$x^2-4 x+5$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il en résulte donc que :

Comme $$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x-1}$$ alors $$f(0)=\frac{\mathrm{e}^0}{0-1}=-1$$
Comme $$f^{\prime}(x)=\frac{(x-2) \mathrm{e}^x}{(x-1)^2}$$ alors $$f^{\prime}(0)=\frac{(0-2) \mathrm{e}^0}{(0-1)^2}=-2$$
Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
D'où :
$$y=-2\left(x-0\right)-1$$.
L'équation réduite de la tangente $$T$$ à la courbe $$\mathscr{C}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors :

D'après la question $$5$$, la fonction $$f$$ est concave sur l'intervalle $$\left]-\infty ; 1\right[$$ . Sa courbe est alors située en dessous de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est en dessous de la tangente au point d'abscisse $$0$$.
Ainsi pour tout réel $$x\in \left]-\infty ; 1\right[$$, on a :
$$f\left(x\right)\le -2x-1$$
$$\frac{\mathrm{e}^x}{x-1}\le -2x-1$$
Sur l'intervalle $$\left]-\infty ; 1\right[$$ nous savons que $$x-1<0$$ .
Nous allons multiplier chaque membre par $$x-1$$ et donc nous allons changer le sens de l'inégalité.
$$\frac{\mathrm{e}^x}{x-1}\times(x-1)\ge(-2 x-1)\times(x-1)$$
Finalement, pour tout réel $$x$$ de l'intervalle $$\left]-\infty ; 1\right[$$, on a :

À l'aide de la calculatrice, on a :

$$f(0,31) \approx-1,98>-2$$

$$f(0,32) \approx-2,03<-2$$

Un encadrement de $$\alpha$$ d'amplitude $$10^{-2}$$ est $$0,31<\alpha<0,32$$.