Tout ce qu'il faut savoir sur le dénombrement : k-uplets; permutations; arrangements et combinaisons

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
On lance cinq fois de suite un dé à $$6$$ faces. A chaque lancer, on note le chiffre qui apparait sur la face du dessus.

• On a $$E=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$$ ainsi $$\dim\left(E\right)=\blue{6}$$. Il s'agit de quintuplés ($$\red{5}$$-uplets) d'éléments non distincts de $$E^5$$.

Exemples de résultats : $$11536~; 25441~; 53214~; {\dots}..$$
Le nombre de $$\red{5}$$-uplets est donc égale à $$\blue{6}^{\red{5}}$$ .
($$6$$ possibilités pour le premier chiffre, $$6$$ possibilités encore pour le deuxième chiffre , $$6$$ possibilités encore pour le troisième chiffre $$6$$ possibilités encore pour le troisième chiffre et enfin $$6$$ possibilités pour le cinquième chiffre ).

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Combien de classements des $$18$$ équipes de la BETCLIC ÉLITE (basket-ball) sont possibles ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
L'ensemble $$E$$ est composé de $$\red{18}$$ éléments.
Le nombre de permutations de $$E$$ est alors égale à $$\red{18!}$$ .
Or : $$18!=1\times 2\times 3\times \cdots \times 18$$
Finalement, le nombre de permutations de $$E$$ est alors égale à $$\red{18!}$$ .
Autrement, il y a $$18!$$ classements différents.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
C'est le grand jour pour le Prix de l'Arc de Triomphe. Il y a $$10$$ chevaux en lice. Combien y'a-t-il de tiercés possibles?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Ici, on appelle $$E$$ l'ensemble des $$\blue{10}$$ éléments (chevaux).
Nous voulons le nombre de tiercés, c'est à dire que nous cherchons le nombre de $$\red{3}$$-uplets d'éléments $$\text{\pink{distincts}}$$ d'un ensemble $$E$$ à $$\blue{10}$$ éléments. (Eléments $$\text{\pink{distincts}}$$ car un cheval ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $$\text{\purple{d'arrangement}} .$$
Il en résulte donc :
$$\frac{\blue{10}!}{\left(\blue{10}-\red{3}\right)!}=\frac{10!}{7!}$$
$$\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10}{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7}$$
$$\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}\times 8\times 9\times 10}{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}}$$
$$\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=8\times 9\times 10$$
$$\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=720$$
Il y a donc $$720$$ tiercés possibles.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
On dispose d'un jeu de $$32$$ cartes. On rappelle qu'il y a $$4$$ couleurs : cœur, carreau, trèfle et pique.
Chaque couleur contient $$8$$ cartes : As, Roi, Dame, Valet, $$10$$, $$9$$, $$8$$ et $$7$$.
On extrait simultanément $$3$$ cartes de ce jeu de $$32$$ cartes . Cet ensemble de $$3$$ cartes est appelé une « une main ».
Combien existe-t-il de mains différentes possibles ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$
Une main est une combinaison de $$3$$ éléments dans un ensemble de $$32$$ . Il en résulte donc que le nombre de mains différentes est alors égale à :
$$\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{32!}{3!\left(32-3\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=4$$ $$960$$
Il y a donc $$4$$ $$960$$ de mains différentes.