Mise en situation et coefficients binomiaux : utiliser les combinaisons pour dénombrer - Exercice 4

$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Constituer un groupe consiste à choisir $$4$$ personnes parmi $$7$$ car il ne fait pas oublier Adam :)
Autrement dit, c'est une combinaison de $$4$$ éléments dans un ensemble de $$7$$ .
Le nombre de groupes de $$4$$ joueurs différents est alors :
$$\left(\begin{array}{c} {7} \\ {4} \end{array}\right)=\frac{7!}{4!\left(7-4\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {7} \\ {4} \end{array}\right)=35$$
Il y a donc $$35$$ possibilités pour constituer des groupes de $$4$$ .

$$\text{\blue{Premièrement :}}$$
$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$
Constituer un groupe consiste à choisir $$2$$ personnes parmi $$2$$ (pour les jumeaux). C'est une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$2$$ .
$$\left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{2!}{2!\left(2-2\right)!}$$ donc $$\left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)=1$$ . Il n'y a donc qu'une seule manière de choisir les jumeaux.
$$\text{\blue{Deuxièmement :}}$$
$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$
Pour pouvoir avoir en tout $$4$$ joueurs il reste donc à choisir $$2$$ personnes parmi $$5$$ . (car on a déjà choisi les jumeaux)
C'est une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$5$$ .
D'où :
$$\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)=10$$
Il y a donc $$10$$ manières de choisir les deux autres joueurs sans les jumeaux.
$$\text{\red{Finalement :}}$$
On a vu qu'il y avait une seule manière de choisir les jumeaux et il y a $$10$$ manières de choisir les deux autres joueurs sans les jumeaux.
Au final, il y a $$10$$ manières de faire un groupe de $$4$$ en intégrant les deux jumeaux.

$$\text{\blue{Premièrement :}}$$
$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$
Constituer un groupe consiste à choisir $$3$$ personnes parmi $$3$$ (ceux qui veulent jouer contre Adam). C'est une combinaison de $$3$$ éléments dans un ensemble de $$3$$ .
$$\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{3!}{3!\left(3-3\right)!}$$ donc $$\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)=1$$ . Il n'y a donc qu'une seule manière de choisir les trois amis qui veulent affronter Adam.
$$\text{\blue{Deuxièmement :}}$$
$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$
Pour pouvoir avoir en tout $$4$$ joueurs il reste donc à choisir $$1$$ personne parmi $$1$$ . (car on veut Adam)
C'est une combinaison de $$1$$ élément dans un ensemble de $$1$$ .
D'où :
$$\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)=\frac{1!}{1!\left(1-1\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)=1$$
Il y a donc qu'une manière de choisir Adam.
$$\text{\red{Finalement :}}$$
On a vu qu'il y avait $$1$$ manière de choisir les trois adversaires d'Adam et il y a $$1$$ manière de choisir Adam.
Au final, il y a $$1$$ manière de faire un groupe de $$4$$ en comptabilisant Adam et ses $$3$$ adversaires.