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Mise en situation et coefficients binomiaux : utiliser les combinaisons pour dénombrer - Exercice 1

7 min
10
On dispose d'un jeu de 3232 cartes. On rappelle qu'il y a 44 couleurs : cœur, carreau, trèfle et pique.
Chaque couleur contient 88 cartes : As, Roi, Dame, Valet, 1010, 99, 88 et 77.
Question 1

On extrait simultanément 66 cartes de ce jeu de 3232 cartes . Cet ensemble de 66 cartes est appelé une « une main ».
Combien existe-t-il de mains différentes possibles ?

Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Une main est une combinaison de 66 éléments dans un ensemble de 3232 . Il en résulte donc que le nombre de mains différentes est alors égale à :
    (326)=32!6!(32−6)!\left(\begin{array}{c} {32} \\ {6} \end{array}\right)=\frac{32!}{6!\left(32-6\right)!}
    Ainsi : (326)=906\left(\begin{array}{c} {32} \\ {6} \end{array}\right)=906 192192
    Il y a donc 906906 192192 de mains différentes.
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 2

    Combien de façons différentes existe-t-il de choisir 33 cartes parmi les 3232 ?

    Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 3232 . Ainsi :
    (323)=32!3!(32−3)!\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{32!}{3!\left(32-3\right)!}
    Ainsi : (323)=4\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=4 960960
    Il y a donc 44 960960 façons différentes de choisir 33 cartes parmi les 3232.
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 3

    Combien de façons différentes existe-t-il de choisir 55 cartes parmi les trèfles ?

    Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Il s'agit d'une combinaison de 55 éléments dans un ensemble de 88 . Ainsi :
    (85)=8!5!(8−5)!\left(\begin{array}{c} {8} \\ {5} \end{array}\right)=\frac{8!}{5!\left(8-5\right)!}
    Ainsi : (85)=56\left(\begin{array}{c} {8} \\ {5} \end{array}\right)=56
    Il y a donc 5656 façons différentes de choisir 55 cartes parmi les trèfles.
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 4

    Combien de façons différentes existe-t-il de choisir 77 cartes parmi les piques?

    Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Il s'agit d'une combinaison de 77 éléments dans un ensemble de 88 . Ainsi :
    (87)=8!7!(8−7)!\left(\begin{array}{c} {8} \\ {7} \end{array}\right)=\frac{8!}{7!\left(8-7\right)!}
    Ainsi : (87)=8\left(\begin{array}{c} {8} \\ {7} \end{array}\right)=8
    Il y a donc 88 façons différentes de choisir 77 cartes parmi les piques.
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}