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Combinatoire et dénombrement
Manipuler les factorielles - Exercice 2
8 min
25
Question 1
Simplifier :
A
=
5
!
×
6
A=5!\times 6
A
=
5
!
×
6
Correction
La factorielle d'un nombre entier
n
n
n
, notée
n
!
n!
n
!
, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n :
n
!
=
1
×
2
×
3
×
…
×
n
n!=1\times 2\times 3\times \ldots \times n
n
!
=
1
×
2
×
3
×
…
×
n
A
=
5
!
×
6
A=\red{5!}\times 6
A
=
5
!
×
6
équivaut successivement à :
A
=
(
1
×
2
×
3
×
4
×
5
)
×
6
A=\left(\red{1\times 2\times 3\times 4\times 5}\right)\times 6
A
=
(
1
×
2
×
3
×
4
×
5
)
×
6
Ainsi :
A
=
6
!
A=6!
A
=
6
!
Question 2
Simplifier :
B
=
7
!
5
!
B=\frac{7!}{5!}
B
=
5
!
7
!
Correction
La factorielle d'un nombre entier
n
n
n
, notée
n
!
n!
n
!
, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n :
n
!
=
1
×
2
×
3
×
…
×
n
n!=1\times 2\times 3\times \ldots \times n
n
!
=
1
×
2
×
3
×
…
×
n
B
=
7
!
5
!
B=\frac{7!}{5!}
B
=
5
!
7
!
équivaut successivement à :
B
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
×
7
1
×
2
×
3
×
4
×
5
B=\frac{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}
B
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
×
7
B
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
×
7
1
×
2
×
3
×
4
×
5
B=\frac{\cancel{ \color{blue}1}\times \cancel{ \color{blue}2}\times \cancel{ \color{blue}3}\times \cancel{ \color{blue}4}\times \cancel{ \color{blue}5}\times 6\times 7}{\cancel{ \color{blue}1}\times \cancel{ \color{blue}2}\times \cancel{ \color{blue}3}\times \cancel{ \color{blue}4}\times \cancel{ \color{blue}5}}
B
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
×
7
B
=
6
×
7
B=6\times 7
B
=
6
×
7
Ainsi :
B
=
42
B=42
B
=
42
Question 3
Soit
n
n
n
un entier naturel. Simplifier :
C
=
n
!
×
(
n
+
1
)
C=n!\times \left(n+1\right)
C
=
n
!
×
(
n
+
1
)
Correction
C
=
n
!
×
(
n
+
1
)
C=\red{n!}\times \left(n+1\right)
C
=
n
!
×
(
n
+
1
)
équivaut successivement à :
C
=
(
1
×
2
×
3
×
…
×
n
)
×
(
n
+
1
)
C=\left(\red{1\times 2\times 3\times \ldots \times n}\right)\times \left(n+1\right)
C
=
(
1
×
2
×
3
×
…
×
n
)
×
(
n
+
1
)
Ainsi :
C
=
(
n
+
1
)
!
C=\left(n+1\right)!
C
=
(
n
+
1
)
!
Question 4
Soit
n
n
n
un entier naturel tel que
n
≥
2
n\ge 2
n
≥
2
. Simplifier :
D
=
(
n
+
2
)
!
(
n
−
1
)
!
D=\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!}
D
=
(
n
−
1
)
!
(
n
+
2
)
!
Correction
D
=
(
n
+
2
)
!
(
n
−
1
)
!
D=\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!}
D
=
(
n
−
1
)
!
(
n
+
2
)
!
équivaut successivement à :
D
=
(
n
−
1
)
!
×
n
×
(
n
+
1
)
×
(
n
+
2
)
(
n
−
1
)
!
D=\frac{\left(n-1\right)!\times n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)}{\left(n-1\right)!}
D
=
(
n
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
×
n
×
(
n
+
1
)
×
(
n
+
2
)
D
=
(
n
−
1
)
!
×
n
×
(
n
+
1
)
×
(
n
+
2
)
(
n
−
1
)
!
D=\frac{\cancel{ \color{blue}\left(n-1\right)!}\times n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)}{\cancel{ \color{blue}\left(n-1\right)!}}
D
=
(
n
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
×
n
×
(
n
+
1
)
×
(
n
+
2
)
D
=
n
×
(
n
+
1
)
×
(
n
+
2
)
D=n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)
D
=
n
×
(
n
+
1
)
×
(
n
+
2
)
Ainsi :
D
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
D=n \left(n+1\right) \left(n+2\right)
D
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
Question 5
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul. Simplifier :
E
=
(
n
!
)
2
n
!
×
(
n
+
1
)
E=\frac{\left(n!\right)^{2} }{n!\times \left(n+1\right)}
E
=
n
!
×
(
n
+
1
)
(
n
!
)
2
Correction
E
=
(
n
!
)
2
n
!
×
(
n
+
1
)
E=\frac{\left(n!\right)^{2} }{n!\times \left(n+1\right)}
E
=
n
!
×
(
n
+
1
)
(
n
!
)
2
équivaut successivement à :
E
=
n
!
×
n
!
n
!
×
(
n
+
1
)
E=\frac{n!\times n!}{n!\times \left(n+1\right)}
E
=
n
!
×
(
n
+
1
)
n
!
×
n
!
E
=
n
!
×
n
!
n
!
×
(
n
+
1
)
E=\frac{\cancel{ \color{blue}n!}\times n!}{\cancel{ \color{blue}n!}\times \left(n+1\right)}
E
=
n
!
×
(
n
+
1
)
n
!
×
n
!
Ainsi :
E
=
n
!
n
+
1
E=\frac{n!}{n+1}
E
=
n
+
1
n
!