Exercices types : Des probas et des suites - Exercice 1

Nous allons commencer par dresser l'arbre de probabilité traduisant la situation : On note $$p_{2}$$ la probabilité de l'évènement $$G_{2}$$, c'est à dire $$p\left(G_{2} \right)= p_{2}$$ .
Les évènements $$G_{1}$$ et $$\overline{G_{1} }$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$p\left(G_{2} \right)=p\left(G_{1} \cap G_{2} \right)+p\left(\overline{G_{1}}\cap G_{2} \right)$$
$$p\left(G_{2} \right)=p\left(G_{1} \right)\times p_{G_{1} } \left(G_{2} \right)+p\left(\overline{G_{1} }\right)\times p_{\overline{G_{1} }} \left(G_{2} \right)$$
$$p\left(G_{2} \right)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4} +\frac{3}{4} \times\frac{1}{2}$$

Nous allons commencer par dresser l'arbre de probabilité traduisant la situation :
On note $$p_{n}$$ la probabilité de l'évènement $$G_{n}$$.
Il vient alors que $$p_{n+1}$$ la probabilité de l'évènement $$G_{n+1}$$, c'est-à-dire : $$p_{n+1} =p\left(G_{n+1} \right)$$.
Les évènements $$G_{n}$$ et $$\overline{G_{n} }$$ forment une partition de l'univers.
D'après la loi des probabilités totales, on a :
$$p\left(G_{n+1} \right)=p\left(G_{n} \cap G_{n+1} \right)+p\left(\overline{G_{n}}\cap G_{n+1} \right)$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=p\left(G_{n} \right)\times p_{G_{n} } \left(G_{n+1} \right)+p\left(\overline{G_{n} }\right)\times p_{\overline{G_{n} }} \left(G_{n+1} \right)$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=\frac{1}{4} p_{n} +\frac{1}{2} \left(1-p_{n} \right)$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=\frac{1}{4} p_{n} +\frac{1}{2} -\frac{1}{2}p_{n}$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=-\frac{1}{4} p_{n} +\frac{1}{2}$$

On peut conjecturer que la suite converge vers $$0,4$$.

Pour tout $$n$$ entier naturel non nul, on a :
$$u_{n} =p_{n} -\frac{2}{5}$$
$$u_{n+1} =p_{n+1} -\frac{2}{5} .$$
Or : $$p_{n+1} =-\frac{1}{4} p_{n} +\frac{1}{2}$$, il vient alors :
$$u_{n+1} =-\frac{1}{4} p_{n} +\frac{1}{2} -\frac{2}{5}$$
$$u_{n+1} =-\frac{1}{4} {\color{blue}{p_{n}}} +\frac{1}{10} .$$
Or : $$u_{n} =p_{n} -\frac{2}{5}$$ d'où : $${\color{blue}{u_{n} +\frac{2}{5} =p_{n}}}$$
$$u_{n+1} =-\frac{1}{4} \left({\color{blue}{u_{n} +\frac{2}{5} }} \right)+\frac{1}{10}$$
$$u_{n+1} =-\frac{1}{4} u_{n} -\frac{1}{10} +\frac{1}{10}$$

L'égalité $$u_{n+1} =-\frac{1}{4} u_{n}$$ montre que la suite $$(u_{n} )$$ est une suite géométrique de raison $$-\frac{1}{4}$$ et de premier terme $$u_{1} =p_{1} -\frac{2}{5} =\frac{1}{4}-\frac{2}{5} =-\frac{3}{20}$$ .

Il en résulte donc que : $$u_{n} =-\frac{3}{20} \times \left(-\frac{1}{4} \right)^{n-1}$$
Il nous reste plus qu'à donner l'expression de $$p_{n}$$ en fonction de $$n$$ .
Or : $$u_{n} =p_{n} -\frac{2}{5}$$ d'où : $$u_{n} +\frac{2}{5} =p_{n}$$
Finalement :

Comme $$-1<-\frac{1}{4}<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4}\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{3}{20}\right)\times \left(-\frac{1}{4}\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{3}{20}\right)\times \left(-\frac{1}{4}\right)^{n} +\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$$
Ainsi :
La conjecture faite à partir du tableau est validée.