Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+3\right)!}{2!\left(n+3-2\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+3\right)!}{2!\left(n+1\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+1\right)!\times \left(n+2\right)\times \left(n+3\right)}{2!\left(n+1\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\cancel{\left(n+1\right)!}\times \left(n+2\right)\times \left(n+3\right)}{2!\cancel{\left(n+1\right)!}}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+2\right)\times \left(n+3\right)}{2!}$$
Ainsi :
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)=n\times 3$$
Ainsi :

Les boules sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
Dans l'urne il y a en tout $$n+3$$ boules.
De manière générale, pour tirer au hasard $$2$$ boules, il faut une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$n+3$$. Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)$$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $$\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+2\right)\times \left(n+3\right)}{2}$$
Pour obtenir deux boules de couleurs différentes, il faut donc prendre $$1$$ blanche parmi $$n$$ blanches $$\red{\text{et}}$$ $$1$$ jaune parmi $$3$$ jaunes. Ce qui nous donne : $$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)=3n$$
Nous allons noter $$A$$ l'évènement la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes. Ainsi :
$$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$$
$$P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {n} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {n+3} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(A\right)=\frac{3n}{\left(\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{2} \right)}$$
$$P\left(A\right)=3n\times \frac{2}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$$
$$P\left(A\right)=\frac{6n}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$$
Nous voulons déterminer la valeur de $$n$$ pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $$\frac{9}{22}$$
On a donc :
$$P\left(A\right)=\frac{9}{22}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{6n}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}=\frac{9}{22}$$ $$6n\times 22=\left(n+2\right)\left(n+3\right)\times 9$$
$$9\left(n+2\right)\left(n+3\right)=132n$$
$$9\left(n^{2} +2n+3n+6\right)=132n$$
$$9\left(n^{2} +5n+6\right)=132n$$
$$9n^{2} +45n+54=132n$$
$$9n^{2} +45n+54-132n=0$$
$$9n^{2} -87n+54=0$$ . Nous allons simplifier l'expression par $$3$$ .
$$3n^{2} -29n+18=0$$
Il nous faut résoudre une équation du second degré.
$$\Delta =625$$ . Les solutions sont alors : $$n_{1} =\frac{2}{3}$$ et $$n_{2} =9$$
Comme $$n$$ est un entier naturel non nul, nous retenons $$\red{n_{2} =9}$$.