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Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 4

5 min

Pour entrer dans une résidence, il faut entrer un code composé de

4

chiffres et de

3

lettres. On note

A

l'ensemble des chiffres et

B

l'ensemble des lettres.

Question 1

Combien y'a t-il de codes possibles?

Correction

\red{\text{Principe multiplicatif}}

$A_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n}$ sont $n$ ensembles finis alors : $\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)$

Soit

E

un ensemble fini à

{\color{blue}{n}}

éléments et

{\color{red}{p}}

un entier naturel non nul. On a alors :

\text{card}\left(E^{{\color{red}{p}}} \right)={\color{blue}{n}}^{{\color{red}{p}}}

On note

A

l'ensemble des chiffres et

B

l'ensemble des lettres. Ainsi :

\text{card}\left(A\right)=10

car l'ensemble

A=\left\{0;1;2;3\ldots ;8;9\right\}

\text{card}\left(B\right)=26

car il y a

26

lettres dans notre alphabet

Il nous faut choisir

4

chiffres, il y a donc

\text{card}\left(A^{4}\right)=10^{4}

possibilités .
Il nous également faut choisir

3

lettres, il y a donc

\text{card}\left(B^{3}\right)=26^{3}

possibilités.
Finalement, le nombre de codes possibles pour entrer dans la résidence, est alors :

\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=\text{card}\left(A^{4} \right)\times \text{card}\left(B^{3} \right)

\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=10^{4}\times 26^{3}

Ainsi :

\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=175\;760\;000

Il y a donc

175\;760\;000

possibilités de codes ! Vaut mieux ne pas l'oublier :)