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Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

5 min
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Pour entrer dans une résidence, il faut entrer un code composé de 44 chiffres et de 33 lettres. On note AA l'ensemble des chiffres et BB l'ensemble des lettres.
Question 1

Combien y'a t-il de codes possibles?

Correction
    Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
  • A1,A2,A3,…,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3×…×An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)×…×card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
  • Soit EE un ensemble fini à n{\color{blue}{n}} éléments et p{\color{red}{p}} un entier naturel non nul. On a alors : card(Ep)=np\text{card}\left(E^{{\color{red}{p}}} \right)={\color{blue}{n}}^{{\color{red}{p}}}
    • On note AA l'ensemble des chiffres et BB l'ensemble des lettres. Ainsi :
  • card(A)=10\text{card}\left(A\right)=10
    car l'ensemble A={0;1;2;3…;8;9}A=\left\{0;1;2;3\ldots ;8;9\right\}
  • card(B)=26\text{card}\left(B\right)=26
    car il y a 2626 lettres dans notre alphabet
    • Il nous faut choisir 44 chiffres, il y a donc card(A4)=104\text{card}\left(A^{4}\right)=10^{4} possibilités .
    Il nous également faut choisir 33 lettres, il y a donc card(B3)=263\text{card}\left(B^{3}\right)=26^{3} possibilités.
    Finalement, le nombre de codes possibles pour entrer dans la résidence, est alors :
    card(A4×B3)=card(A4)×card(B3)\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=\text{card}\left(A^{4} \right)\times \text{card}\left(B^{3} \right)
    card(A4×B3)=104×263\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=10^{4}\times 26^{3}
    Ainsi :
    card(A4×B3)=175  760  000\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=175\;760\;000

    Il y a donc 175  760  000175\;760\;000 possibilités de codes ! Vaut mieux ne pas l'oublier :)

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