Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

Le mot SUITE est composé de $$\red{5}$$ éléments.
Le nombre de permutations est alors égale à $$\red{5!}$$ .
Or : $$5!=120$$
Il y a donc $$120$$ anagrammes possibles du mot SUITE .

Le mot LIMITE est composée de $$6$$ lettres.
Le mot LIMITE comporte deux fois la lettre $$I$$.
On cherche donc à placer les $$6$$ lettres du mot LIMITE dans $$6$$ cases et chaque case ne peut contenir qu'une seule lettre.
$$\purple{\text{Dans un premier temps :}}$$ on cherche à placer les deux $$I$$ dans les $$6$$ cases disponibles. Il s'agit d'une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$6$$ .
Ce qui nous donne : $$\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{6!}{2!\left(6-2\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)=15$$
Il y a donc $$15$$ manières différentes de placer les deux $$I$$ dans les $$6$$ cases.
$$\purple{\text{Dans un second temps :}}$$ maintenant, que nous avons placé les deux $$I$$, il nous reste à placer les $$4$$ dernières lettres.
Le nombre de permutations est alors égale à $$\red{4!}$$ .
Or : $$4!=24$$.
Il y a donc $$\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)\times24=360$$ anagrammes possibles du mot LIMITE .

Le mot THEOREME est composée de $$8$$ lettres.
Le mot THEOREME comporte trois fois la lettre $$E$$.
On cherche donc à placer les $$8$$ lettres du mot THEOREME dans $$8$$ cases et chaque case ne peut contenir qu'une seule lettre.
$$\purple{\text{Dans un premier temps :}}$$ on cherche à placer les trois $$E$$ dans les $$8$$ cases disponibles. Il s'agit d'une combinaison de $$3$$ éléments dans un ensemble de $$8$$ .
Ce qui nous donne : $$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{8!}{3!\left(8-3\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {3} \end{array}\right)=56$$
Il y a donc $$56$$ manières différentes de placer les trois $$E$$ dans les $$8$$ cases.
$$\purple{\text{Dans un second temps :}}$$ maintenant, que nous avons placé les trois $$E$$, il nous reste à placer les $$5$$ dernières lettres.
Le nombre de permutations est alors égale à $$\red{5!}$$ .
Or : $$5!=120$$.
Il y a donc $$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {3} \end{array}\right)\times120=6720$$ anagrammes possibles du mot THEOREME .