Epreuve d'enseignement de spécialité ASIE 7 juin 2021 sujet 1 Exercice 3 : Dénombrement et Loi Binomiale - Exercice 1

$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac. Il s'agit d'une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$8$$ ($$2$$ voyelles et $$6$$ consonnes).
Il en résulte donc que le nombre de tirages possibles est égale à :
$$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{8!}{2!\left(8-2\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \end{array}\right)=28$$
Il y a donc $$28$$ tirages possbiles.

On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.
Il faut donc prendre $$1$$ voyelle parmi $$2$$ voyennes $$\red{\text{et}}$$ $$1$$ consonne parmi $$6$$ consonnes. Ce qui nous donne : $$\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {6} \\ {1} \end{array}\right)$$
Nous allons noter $$A$$ l'évènement la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes. Ainsi :
$$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$$
$$p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {6} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$p\left(A\right)=\frac{12}{28}$$
Ainsi :

D'après la question précédente, nous avons vu que la probabilité qu'un joueur gagne est égale à $$\frac{3}{7}$$.
Pour jouer, le joueur doit payer $$k$$ euros, $$k$$ désignant un entier naturel non nul. Si le joueur gagne, il remporte la somme de $$10$$ euros, sinon il ne remporte rien.
On note $$G$$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
La variable aléatoire $$G$$ prend les valeurs suivantes : $$G =\left\{10-k;-k\right\}$$.
On a donc :
$$P\left(G=10-k\right)=\frac{3}{7}$$ et $$P\left(G=-k\right)=\frac{4}{7}$$ car $$P\left(G=10-k\right)+P\left(G=-k\right)=1$$
La loi de probabilité de $$G$$ est donnée ci-dessous :

Dans un premier temps, nous allons calculer l'espérance de la variable aléatoire $$G$$ .
$$E\left(G\right)=-k\times \frac{4}{7}+\left(10-k\right)\times \frac{3}{7}$$
$$E\left(G\right)=\frac{-4k+3\times \left(10-k\right)}{7}$$
$$E\left(G\right)=\frac{-4k+30-3k}{7}$$
Ainsi : Il nous faut donc résoudre $$E\left(G\right)>0$$ .
Soit :
$$E\left(G\right)>0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-7k+30}{7}>0$$
$$-7k+30>0$$
$$-7k>-30$$
$$k<\frac{-30}{-7}$$
$$k<\frac{30}{7}$$ . $$\;\;$$ Or $$\frac{30}{7}\approx 4,3$$
On rappelle que pour jouer, le joueur doit payer $$k$$ euros, $$k$$ désignant un entier naturel non nul.
Il en résulte donc que la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ne doit pas dépasser $$4$$ euros.

$$X$$ suit la loi binomiale $$\mathscr{B}\left(10;\frac{3}{7}\right)$$
La probabilité qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants se traduit par : $$P\left(X=4\right)$$
$$\red{\text{Avec une Texas :}}$$ pour $$P\left(X=4\right)$$ on tape :
2^nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de $$n$$, valeur de $$p$$, valeur de $$k$$) c'est-à-dire ici BinomFdp($$10$$, $$\frac{3}{7}$$ , $$0$$) puis on tape sur enter et on obtient :
arrondi à $$10^{-3}$$ près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.

$$\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}}$$ pour $$P\left(X=4\right)$$ on tape :
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :

puis on tape sur EXE et on obtient :
arrondi à $$10^{-2}$$ près.
Avec une calculatrice Numworks
Choisir Probabilités puis sélectionner Ok puis une nouvelle fois OK puis choisir Binomiale . Entrer les paramètres $$n=10$$ et $$p=\frac{3}{7}$$.
Puis ensuite choisir le calcul avec l'encadré bleu.

Avec la calculatrice, on obtient : $$P\left(X\ge 5\right)\approx 0,44$$
La probabilité qu’il y ait au moins $$5$$ gagnants sur $$10$$ joueurs est d’environ $$0,44$$.

Pour cette question, il faut procéder une étude à l'aide de la calculatrice.
En effet : $$P(X\le 5)\approx 0,78$$ et $$P(X\le 6)\approx 0,92$$
Ainsi le plus petit entier naturel $$n$$ tel que $$P(X\le n)\ge 0,9$$ est alors $$n=6$$ .