Dénombrer les $$k$$-uplets d'un ensemble fini et arrangement - Exercice 7

On note $$n$$ le nombre de participants.
Ici, on appelle $$E$$ l'ensemble des $$\blue{n}$$ éléments où $$n$$ est un entier naturel non nul.
Nous voulons le nombre de classement aux $$\red{2}$$ premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de $$\red{2}$$-uplets d'éléments $$\text{\pink{distincts}}$$ d'un ensemble $$E$$ à $$\blue{n}$$ éléments. (Eléments $$\text{\pink{distincts}}$$ car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $$\text{\purple{d'arrangement}} .$$
Il en résulte donc :
$$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}$$
$$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n$$
Il y a donc $$\left(n-1\right)\times n$$ possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
D'après l'énoncé, on a dénombré $$506$$ classements possibles aux deux premières places.
Il nous faut alors résoudre l'équation $$\left(n-1\right)\times n=506$$
Ce qui donne :
$$n^{2} -n=506$$
$$n^{2} -n-506=0$$
$$\Delta =2025$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$n{}_{1}$$ et $$n{}_{2}$$ telles que :
$$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{2025} }{2\times 1}$$ d'où $$n{}_{1} =-22$$
$$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{2025} }{2\times 1}$$ d'où $$n{}_{2} =23$$
$$n$$ est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout $$\red{23}$$ participants à cette course cycliste.