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Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 5

3 min

Question 1

On lance

4

dés à six faces. L’ensemble

A=\left\{1 ;2 ;3 ;4;5;6 \right\}

correspond aux résultats possibles pour un dé. On note

A^{4}

l'ensemble des quadruplets lors des lancers des

4

dés.

Donner deux exemples de quadruplets.

Correction

\left(1;6;5;2\right)\in A^{4}

\left(5;6;4;4\right)\in A^{4}

Question 2

Correction

\red{\text{Principe multiplicatif}}

$A_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n}$ sont $n$ ensembles finis alors : $\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)$

L’ensemble

A=\left\{1 ;2 ;3 ;4;5;6 \right\}

correspond aux résultats possibles pour un dé ainsi

\text{card}\left(A \right)={\color{blue}{6}}

\text{card}\left(A^{4} \right)=\text{card}\left(A\right)\times \text{card}\left(A\right)\times \text{card}\left(A\right)\times \text{card}\left(A\right)

\text{card}\left(A^{4} \right)=6\times 6\times 6\times 6

\text{card}\left(A^{{\color{red}{4}}} \right)={\color{blue}{6}}^{{\color{red}{4}}}

Ainsi :

\text{card}\left(A^{4} \right)=1296

Il y a donc

1\;296

quadruplets possibles lors du lancer des

4

dés.

Dans ce genre de situation, nous pouvons penser également à la propriété suivante.

Soit

E

un ensemble fini à

{\color{blue}{n}}

éléments et

{\color{red}{p}}

un entier naturel non nul. On a alors :

\text{card}\left(E^{{\color{red}{p}}} \right)={\color{blue}{n}}^{{\color{red}{p}}}