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Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 4

3 min
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Question 1
Adil se prépare pour son anniversaire. Dans son dressing, il a le choix entre 66 polos, 55 jeans et 22 vestes.

Combien de tenues différentes peut composer Adil.

Correction
    Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
  • A1,A2,A3,…,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3×…×An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)×…×card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
Notons :
  • PP l'ensemble des 66 polos. Donc
    card(P)=6\text{card}\left(P\right)=6
  • JJ l'ensemble des 55 jeans. Donc
    card(J)=5\text{card}\left(J\right)=5
  • VV l'ensemble des 22 vestes. Donc
    card(V)=2\text{card}\left(V\right)=2
    • La tenue d'Adil donc un triplet du produit cartésien P×J×VP \times J \times V .
    D’apreˋs le principe multiplicatif :\red{\text{D'après le principe multiplicatif :}}
    card(P×J×V)=card(P)×card(J)×card(V)\text{card}\left(P\times J\times V\right)=\text{card}\left(P\right)\times\text{card}\left(J\right)\times\text{card}\left(V\right)
    card(P×J×V)=6×5×2\text{card}\left(P\times J\times V\right)=6 \times 5 \times 2
    Ainsi :
    card(P×J×V)=60\text{card}\left(P\times J\times V\right)=60

    Finalement, Adil a 6060 manières différentes pour s'habiller à son anniversaire.