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Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 3

3 min

Question 1

Au restaurant, le serveur nous propose une carte composée de

3

apéritifs,

4

entrées,

2

plats chauds et

5

desserts.

Combien de menus différents peut-on composer ? Le client prendra un élément de chaque.

Correction

\red{\text{Principe multiplicatif}}

$A_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n}$ sont $n$ ensembles finis alors : $\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)$

Notons :

A

l'ensemble des

3

apéritifs. Donc

\text{card}\left(A\right)=3

E

l'ensemble des

4

entrées. Donc

\text{card}\left(E\right)=4

P

l'ensemble des

2

plats chauds. Donc

\text{card}\left(P\right)=2

D

l'ensemble des

5

desserts. Donc

\text{card}\left(D\right)=5

Le choix du menu est donc un quadruplet du produit cartésien

A \times E \times P \times D

. En effet, un client dégustera un apéritif, une entrée, un plat chaud et un dessert.

\red{\text{D'après le principe multiplicatif :}}

\text{card}\left(A\times E\times P\times D\right)=\text{card}\left(A\right)\times\text{card}\left(E\right)\times\text{card}\left(P\right)\times\text{card}\left(D\right)

\text{card}\left(A\times E\times P\times D\right)=3 \times 4 \times 2 \times 5

Ainsi :

\text{card}\left(A\times E\times P\times D\right)=120

Finalement, il y a

120

possibilités de constituer un menu.