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Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 1

4 min
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Question 1
On considère l'ensemble A={x1;x2;x3}A=\left\{x_{1} ;x_{2} ;x_{3} \right\} et l'ensemble B={y1;y2;y3;y4}B=\left\{y_{1} ;y_{2} ;y_{3};y_{4} \right\}

Déterminer card(A)\text{card}\left(A\right) et card(B)\text{card}\left(B\right) .

Correction
  • On appelle cardinal d'un ensemble EE et on note card(E)\text{card}\left(E\right), le nombre d'éléments de EE .
  • L’ensemble AA est composée de 33 éléments donc
    card(A)=3\text{card}\left(A\right)=3
  • L’ensemble BB est composée de 44 éléments donc
    card(B)=4\text{card}\left(B\right)=4
    • Question 2

    Dans une classe, il y a 1212 filles et 1313 garçons. Le professeur de Physique veut constituer des binômes mixtes pour les TP. Combien peut-il en former ?

    Correction
      Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
    • A1,A2,A3,…,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3×…×An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)×…×card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
    Notons :
  • FF l'ensemble des 1212 filles. Donc
    card(F)=12\text{card}\left(F\right)=12
  • GG l'ensemble des 1313 garçons. Donc
    card(G)=13\text{card}\left(G\right)=13
    • Le choix d'un binôme est donc un couple du produit cartésien F×GF \times G . En effet, ce binôme choisi est constitué d'une fille dans l'ensemble des 1212 filles et d'un garçon dans l’ensemble des 1313 garçons.
    card(F×G)=card(F)×card(G)\text{card}\left(F\times G\right)=\text{card}\left(F\right)\times\text{card}\left(G\right)
    card(F×G)=12×13\text{card}\left(F\times G\right)=12 \times 13
    Ainsi :
    card(F×G)=156\text{card}\left(F\times G\right)=156

    Finalement, le professeur a donc 156156 binômes mixtes possibles.