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Combinatoire et dénombrement
Calculer à l'aide des coefficients binomiaux - Exercice 4
8 min
20
Question 1
Soit
n
n
n
un entier naturel tel que
n
≥
2
n\ge 2
n
≥
2
. Simplifier le coefficient binomial suivant :
(
n
2
)
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)
(
n
2
)
Correction
(
n
p
)
=
n
!
p
!
(
n
−
p
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
(
n
p
)
=
p
!
(
n
−
p
)
!
n
!
(
n
2
)
=
n
!
2
!
(
n
−
2
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}
(
n
2
)
=
2
!
(
n
−
2
)
!
n
!
(
n
2
)
=
(
n
−
2
)
!
×
(
n
−
1
)
×
n
2
!
(
n
−
2
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{2!\left(n-2\right)!}
(
n
2
)
=
2
!
(
n
−
2
)
!
(
n
−
2
)
!
×
(
n
−
1
)
×
n
(
n
2
)
=
(
n
−
2
)
!
×
(
n
−
1
)
×
n
2
!
(
n
−
2
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\cancel{\left(n-2\right)!}\times \left(n-1\right)\times n}{2!\cancel{\left(n-2\right)!}}
(
n
2
)
=
2
!
(
n
−
2
)
!
(
n
−
2
)
!
×
(
n
−
1
)
×
n
(
n
2
)
=
(
n
−
1
)
×
n
2
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)\times n}{2!}
(
n
2
)
=
2
!
(
n
−
1
)
×
n
Ainsi :
(
n
2
)
=
(
n
−
1
)
×
n
2
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)\times n}{2}
(
n
2
)
=
2
(
n
−
1
)
×
n
Question 2
Soit
n
n
n
un entier naturel . Simplifier le coefficient binomial suivant :
(
n
+
5
2
)
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)
(
n
+
5
2
)
Correction
(
n
p
)
=
n
!
p
!
(
n
−
p
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
(
n
p
)
=
p
!
(
n
−
p
)
!
n
!
(
n
+
5
2
)
=
(
n
+
5
)
!
2
!
(
n
+
5
−
2
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+5\right)!}{2!\left(n+5-2\right)!}
(
n
+
5
2
)
=
2
!
(
n
+
5
−
2
)
!
(
n
+
5
)
!
(
n
+
5
2
)
=
(
n
+
5
)
!
2
!
(
n
+
3
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+5\right)!}{2!\left(n+3\right)!}
(
n
+
5
2
)
=
2
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
5
)
!
(
n
+
5
2
)
=
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
2
!
(
n
+
3
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+3\right)!\times \left(n+4\right)\times \left(n+5\right)}{2!\left(n+3\right)!}
(
n
+
5
2
)
=
2
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
(
n
+
5
2
)
=
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
2
!
(
n
+
3
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\cancel{\left(n+3\right)!}\times \left(n+4\right)\times \left(n+5\right)}{2!\cancel{\left(n+3\right)!}}
(
n
+
5
2
)
=
2
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
(
n
+
5
2
)
=
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
2
!
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+4\right)\times \left(n+5\right)}{2!}
(
n
+
5
2
)
=
2
!
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
Ainsi :
(
n
+
5
2
)
=
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
2
\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+4\right)\times \left(n+5\right)}{2}
(
n
+
5
2
)
=
2
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
Question 3
Soit
n
n
n
un entier naturel . Simplifier le coefficient binomial suivant :
(
n
+
6
n
+
3
)
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)
(
n
+
6
n
+
3
)
Correction
(
n
p
)
=
n
!
p
!
(
n
−
p
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
(
n
p
)
=
p
!
(
n
−
p
)
!
n
!
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
6
)
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
6
−
(
n
+
3
)
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)=\frac{\left(n+6\right)!}{\left(n+3\right)!\left(n+6-\left(n+3\right)\right)!}
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
3
)
!
(
n
+
6
−
(
n
+
3
)
)
!
(
n
+
6
)
!
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
6
)
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
6
−
n
−
3
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)=\frac{\left(n+6\right)!}{\left(n+3\right)!\left(n+6-n-3\right)!}
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
3
)
!
(
n
+
6
−
n
−
3
)
!
(
n
+
6
)
!
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
6
)
!
(
n
+
3
)
!
×
3
!
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)=\frac{\left(n+6\right)!}{\left(n+3\right)!\times 3!}
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
3
)
!
×
3
!
(
n
+
6
)
!
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
×
(
n
+
6
)
3
!
(
n
+
3
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)=\frac{\left(n+3\right)!\times \left(n+4\right)\times \left(n+5\right)\times \left(n+6\right)}{3!\left(n+3\right)!}
(
n
+
6
n
+
3
)
=
3
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
×
(
n
+
6
)
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
×
(
n
+
6
)
3
!
(
n
+
3
)
!
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)=\frac{\cancel{\left(n+3\right)!}\times \left(n+4\right)\times \left(n+5\right)\times \left(n+6\right)}{3!\cancel{\left(n+3\right)!}}
(
n
+
6
n
+
3
)
=
3
!
(
n
+
3
)
!
(
n
+
3
)
!
×
(
n
+
4
)
×
(
n
+
5
)
×
(
n
+
6
)
Ainsi :
(
n
+
6
n
+
3
)
=
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
(
n
+
6
)
6
\left(\begin{array}{c} {n+6} \\ {n+3} \end{array}\right)=\frac{\left(n+4\right)\left(n+5\right)\left(n+6\right)}{6}
(
n
+
6
n
+
3
)
=
6
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
(
n
+
6
)