Baccalauréat Amérique du Nord 22 mai 2024 : Intégration et fonction logarithme népérien - Exercice 1

Pour déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $$\mathscr{C}$$ et de l'axe des abscisses, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$ . En effet, le point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses a pour ordonnée $$0$$.
Il vient alors que :
$$f(x)=0$$ équivaut successivement à :
$$a \ln (x)=0$$
$$\ln (x)=\frac{0}{a} \quad \text { car } a>0 \\$$
$$\ln (x)=0$$
$$\ln (x)=\ln (1)$$
D'où :
L'abscisse du point d'intersection de la courbe $$\mathscr{C}$$ et de l'axe des abscisses est $$x=1$$.

Il est important d'indiquer que $$F$$ est dérivable sur $$] 0 ;+\infty[$$. On introduit une fonction $$h$$ définie sur $$] 0 ;+\infty[$$ par $$h(x)=x \ln (x) .$$ La fonction $$h$$ est dérivable sur $$] 0 ;+\infty[$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$h'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}$$
$$h'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+\frac{x}{x}$$
Ainsi :
Nous avons :
$$F(x)=a[h\left(x\right)-x]$$
Ainsi :
$$F'(x)=a[h'\left(x\right)-1]$$
$$F'(x)=a[\ln \left(x\right)+1-1]$$
$$F'(x)=a[\ln \left(x\right)]$$
Finalement :

La fonction $$F$$ définie par $$F(x)=a(x \ln (x)-x)$$ est bien une primitive de la fonction $$f$$ sur l'intervalle $$\left] 0 ;+\infty\right[$$.

$$f$$ une fonction continue et positive sur un intervalle $$\left[1 ; x_0\right]$$.
En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $$a$$ et de $$x_0$$ signifie que l'on recherche l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de la fonction $$f$$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $$x=1$$ et $$x=x_0$$.
C'est la définition de l'intégrale de $$f$$ sur $$\left[1 ; x_0\right]$$ .
$$A=\int_1^{x_0} f(x) \mathrm{d} x$$
$$A=[F(x)]_1^{x_0}$$
$$A=F\left(x_0\right)-F(1)$$
$$A=a\left(x_0 \ln \left(x_0\right)-x_0\right)-a(1 \ln \left(1\right)-1)$$
$$A=a\left(x_0 \ln \left(x_0\right)-x_0\right)-a(0-1)$$
$$A=\red{a}\left(x_0 \ln \left(x_0\right)-x_0\right)+\red{a}$$ . On factorise par $$\red{a}$$ .
Finalement :

Pour répondre à la question, nous allons avoir besoin des coordonnées des points $$A$$ et $$B$$.
Les coordonnées de $$B$$ sont assez rapides à obtenir. En effet, dans un premier temps nous connaissons les coordonnées du point $$M$$.
L'abscisse du point $$M$$ est $$x_0$$ et son ordonnée est $$f(x_0)=a \ln (x_0)$$ car $$M\in \mathscr{C}$$. Ainsi les coordonnées du point $$M$$ sont $$\left(x_0;a \ln (x_0)\right)$$ .
On rappelle que $$B$$ le projeté orthogonal de $$M$$ sur l'axe des ordonnées. Cela signifie que l'abscisse du point $$B$$ vaut $$0$$ car $$B$$ est sur l'axe des abscisses, mais l'ordonnée de $$B$$ est la même que celle du point $$M$$ car $$B$$ le projeté orthogonal de $$M$$ sur l'axe des ordonnées.
Il en résulte que les coordonnées du point $$B$$ sont .
Maintenant déterminons les coordonnées du point $$A$$.
On appelle $$A$$ le point d'intersection de la tangente $$T$$ avec l'axe des ordonnées. Cela signifie que l'abscisse du point $$A$$ vaut $$0$$.
Nous allons dans un premier temps calculer l'équation de la tangente $$T$$ c'est à dire l'équation de la tangente au point d'abscisse $$x_0$$.
On rappelle que $$f(x)=a \ln (x)$$, $$f$$ est dérivable sur $$] 0 ;+\infty[$$.
On a alors :
$$f'(x)=a \times\frac{1}{x}=\frac{a}{x}$$.
L'équation de $$T$$ la tangente à la courbe $$\mathscr{C}$$ au point $$M$$ d'abscisse $$x_0$$ est :
$$y=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$$
$$y=\frac{a}{x_0}\times\left(x-x_0\right)+a \ln (x_0)$$
$$y=\frac{a}{x_0}\times x+\frac{a}{x_0}\times\left(-x_0\right)+a \ln (x_0)$$
D'où :
Le point $$A\left(0;y_A\right)$$ appartient à l'équation de $$T$$ la tangente à la courbe $$\mathscr{C}$$ au point $$M$$ d'abscisse $$x_0$$. Il en résulte donc que :
$$y_A=\frac{a}{x_0}\times x_A-a+a \ln (x_0)$$
$$y_A=\frac{a}{x_0}\times 0-a+a \ln (x_0)$$
$$y_A=-a+a \ln (x_0)$$
Ainsi les cordonnées du point $$A$$ sont : .
Nous avons donc $$A\left(0;-a+a \ln (x_0)\right)$$ et $$B\left(0;a \ln (x_0)\right)$$
Nous pouvons donc calculer la distance $$AB$$.
Il s'ensuit que :
$$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$$
$$AB=\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(a{\mathrm{ln} \left(x_0\right)\ }-\left(-a+a{\mathrm{ln} \left(x_0\right)\ }\right)\right)}^2}$$
$$AB=\sqrt{{\left(a{\mathrm{ln} \left(x_0\right)\ }+a-a{\mathrm{ln} \left(x_0\right)\ }\right)}^2}$$
$$AB=\sqrt{a^2}$$ . On rappelle que $$a>0$$ ainsi :
La longueur $$A B$$ est égale à une constante $$a$$.