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Vecteurs du plan : première Partie

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

15 min
25
Voici ci-dessous un hexagone régulier ABCDEFABCDEF de centre OO. Exprimer les vecteurs suivants à l’aide d’un seul vecteur.
Question 1

OB→+FE→=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{FE}=

Correction
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
On remarque que FE→=BC→\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BC}. Nous avons choisi ce vecteur afin de pouvoir ensuite appliquer la relation de chasles.
Ainsi :
OB→+FE→=OB→+BC→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{O\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{B}C}. D'après la relation de Chasles, on a :
OB→+FE→=OC→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OC}

Question 2

AB→+BC→=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=

Correction
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{B}C}=\overrightarrow{AC}
AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{A\mathbf{B}}+\vec{\mathbf{B}C}=\vec{AC}
selon la relation de Chasles.
Question 3

AB→−BC→=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=

Correction
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
Nous allons commencer par enlever les signes moins de notre relation en faisant intervenir les vecteurs opposés.
Ainsi :
AB→−BC→=AB→+CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}.
Or : AB→=OC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}. Il vient alors que :
AB→−BC→=AB→+CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB} peut s'écrire :
AB→−BC→=OC→+CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{O\mathbf{C}}+\overrightarrow{\mathbf{C}B}. D'après la relation de Chasles, on a :
AB→−BC→=OB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}

Question 4

EO→+BA→+FA→=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{FA}=

Correction
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{B}C}=\overrightarrow{AC}
On remarque que : BA→=OF→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OF}.
Il vient alors que :
EO→+BA→+FA→=EO→+OF→+FA→\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{E\mathbf{O}}+\overrightarrow{\mathbf{O}F}+\overrightarrow{FA}. Il ne reste plus qu'à appliquer la relation de Chasles.
EO→+BA→+FA→=EF→+FA→\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{E\mathbf{F}}+\overrightarrow{\mathbf{F}A}.
D'où :
EO→+BA→+FA→=EA→\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{EA}
Question 5

DB→−EF→=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{EF}=

Correction
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
Nous allons commencer par enlever les signes moins de notre relation en faisant intervenir les vecteurs opposés.
Ainsi :
DB→−EF→=DB→+FE→\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{FE}
Or FE→=BC→\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BC}. On peut donc écrire que :
DB→−EF→=DB→+FE→\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{FE}
DB→−EF→=DB→+BC→\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{D\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{B}C}. Puis on applique la relation de Chasles.
D'où :
DB→−EF→=DC→\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DC}