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Seconde
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Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Savoir calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel - Exercice 1
5 min
10
Question 1
Soit
(
0
;
i
⃗
;
j
⃗
)
\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. On considère les vecteurs suivants :
u
→
(
2
3
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
u
(
2
3
)
;
v
→
(
5
−
1
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right)
v
(
5
−
1
)
et
w
→
(
−
1
7
)
\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
w
(
−
1
7
)
Calculer les coordonnées du vecteur
u
→
+
v
→
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}
u
+
v
.
Correction
Soient
(
0
;
i
⃗
;
j
⃗
)
\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan et
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {{\color{red}x'}} \\ {{\color{red}y'}} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
deux vecteurs .
la somme
v
→
+
v
→
\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}
v
+
v
est égale à
(
x
+
x
′
y
+
y
′
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}+{\color{red}x'}} \\ {{\color{blue}y}+{\color{red}y'}} \end{array}\right)
(
x
+
x
′
y
+
y
′
)
On rappelle que :
u
→
(
2
3
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
u
(
2
3
)
;
v
→
(
5
−
1
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right)
v
(
5
−
1
)
et
w
→
(
−
1
7
)
\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
w
(
−
1
7
)
Ainsi :
Le vecteur
u
→
+
v
→
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}
u
+
v
a pour coordonnées
(
2
+
5
3
−
1
)
\left(\begin{array}{c} {2+5} \\ {3-1} \end{array}\right)
(
2
+
5
3
−
1
)
soit
(
7
2
)
\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)
(
7
2
)
Question 2
Calculer les coordonnées du vecteur
v
→
+
w
→
\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}
v
+
w
.
Correction
Soient
(
0
;
i
⃗
;
j
⃗
)
\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan et
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {{\color{red}x'}} \\ {{\color{red}y'}} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
deux vecteurs .
la somme
v
→
+
v
→
\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}
v
+
v
est égale à
(
x
+
x
′
y
+
y
′
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}+{\color{red}x'}} \\ {{\color{blue}y}+{\color{red}y'}} \end{array}\right)
(
x
+
x
′
y
+
y
′
)
On rappelle que :
u
→
(
2
3
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
u
(
2
3
)
;
v
→
(
5
−
1
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right)
v
(
5
−
1
)
et
w
→
(
−
1
7
)
\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
w
(
−
1
7
)
Ainsi :
Le vecteur
v
→
+
w
→
\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}
v
+
w
a pour coordonnées
(
5
+
(
−
1
)
−
1
+
7
)
\left(\begin{array}{c} {5+\left(-1\right)} \\ {-1+7} \end{array}\right)
(
5
+
(
−
1
)
−
1
+
7
)
soit
(
4
6
)
\left(\begin{array}{c} {4} \\ {6} \end{array}\right)
(
4
6
)
Question 3
Calculer les coordonnées du vecteur
3
v
→
3\overrightarrow{v}
3
v
.
Correction
Soient
(
0
;
i
⃗
;
j
⃗
)
\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan et
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
k
{\color{red}k}
k
un réel .
le vecteur
k
u
→
k\overrightarrow{u}
k
u
est égale à
(
k
×
x
k
×
y
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{red}k}\times{\color{blue}x}} \\ {{\color{red}k}\times{\color{blue}y}} \end{array}\right)
(
k
×
x
k
×
y
)
On rappelle que :
u
→
(
2
3
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
u
(
2
3
)
;
v
→
(
5
−
1
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right)
v
(
5
−
1
)
et
w
→
(
−
1
7
)
\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
w
(
−
1
7
)
Ainsi :
Le vecteur
3
v
→
{\color{red}3}\overrightarrow{v}
3
v
a pour coordonnées
(
3
×
5
3
×
(
−
1
)
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{red}3}\times5} \\ {{\color{red}3}\times\left(-1\right)} \end{array}\right)
(
3
×
5
3
×
(
−
1
)
)
soit
(
15
−
3
)
\left(\begin{array}{c} {15} \\ {-3} \end{array}\right)
(
15
−
3
)