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Exercices Types - Exercice 4

20 min
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Dans un repère orthonormé (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne les points A(0;1)A\left(0;1\right) , B(2;4)B\left(2;4\right) , C(4;1)C\left(4;1\right).
Question 1

On considère le point DD tel que ABCDABCD est un parallélogramme. Traduire cela par une égalité de deux vecteurs.

Correction
Si le point DD est tel que ABCDABCD est un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :
AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
Question 2

Déterminer les coordonnées de DD pour que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Correction
Nous savons que AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
Commençons par calculer le vecteur AB\overrightarrow{AB}.
  • AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB(2041)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-0} \\ {4-1} \end{array}\right) d'où :
    AB(23)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
  • Calculons maintenant le vecteur DC\overrightarrow{DC}. Soit D(xD;yD)D\left(x_{D};y_{D}\right) les coordonnées du point DD.
  • DC(xCxDyCyD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{D}} \\ {y_{C}-y_{D}} \end{array}\right) ainsi
    DC(4xD1yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {4-x_{D}} \\ {1-y_{D}} \end{array}\right)
  • Comme AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
    Il en résulte donc que :
    (4xD1yD)=(23)\left(\begin{array}{c} {4-x_{D}} \\ {1-y_{D}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
    {4xD=21yD=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {4-x_{D}} & {=} & {2} \\ {1-y_{D}} & {=} & {3} \end{array}\right.
    Ainsi :
    {xD=24yD=31\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{D}} & {=} & {2-4} \\ {-y_{D}} & {=} & {3-1} \end{array}\right.
    {xD=2yD=2\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{D}} & {=} & {-2} \\ {-y_{D}} & {=} & {2} \end{array}\right.
    {xD=2yD=2\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}} & {=} & {2} \\ {y_{D}} & {=} & {-2} \end{array}\right.

    Les coordonnées du point DD sont alors D(2;2)D\left(2;-2\right)
    Question 3

    Montrer que ABCDABCD est un losange.

    Correction
    Nous savons que ABCDABCD est un parallélogramme.
    Il nous suffit de montrer que si deux cotés consécutifs d'un parallélogramme sont égaux alors ce parallélogramme sera alors un losange.
    Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
    • AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
    D'une part :
    AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    AB=(20)2+(41)2AB=\sqrt{\left(2-0 \right)^{2} +\left(4-1 \right)^{2} }
    AB=22+32AB=\sqrt{2^{2} +3^{2} }
    AB=13AB=\sqrt{13 }

    D'autre part :
    BC=(xCxB)2+(yCyB)2BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    BC=(42)2+(14)2BC=\sqrt{\left(4-2 \right)^{2} +\left(1-4\right)^{2} }
    BC=22+(3)2BC=\sqrt{2^{2} +\left(-3\right)^{2} }
    BC=13BC=\sqrt{13 }

    ABCDABCD est un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux. ABCDABCD est bien un losange.
    Question 4

    ABCDABCD est-il un carré?

    Correction
    Nous savons que ABCDABCD est un losange. Pour que ABCDABCD soit un carré, il faut que les diagonales soient de même mesure. Les diagonales sont ici [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right].
    D'une part :
    AC=(xCxA)2+(yCyA)2AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    AC=(40)2+(11)2AC=\sqrt{\left(4-0 \right)^{2} +\left(1-1 \right)^{2} }
    AC=42+02AC=\sqrt{4^{2} +0^{2} }
    AC=4AC=4

    D'autre part :
    BD=(xDxB)2+(yDyB)2BD=\sqrt{\left(x_{D} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{D} -y_{B} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    BD=(22)2+(24)2BD=\sqrt{\left(2-2 \right)^{2} +\left(-2-4\right)^{2} }
    BD=02+(6)2BD=\sqrt{0^{2} +\left(-6\right)^{2} }
    BD=6BD=6

    Les diagonales n'ont pas la même mesure. Le losange ABCDABCD n'est donc pas un carré.