Exercices Types - Exercice 4

Si le point $$D$$ est tel que $$ABCD$$ est un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :

Nous savons que $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$.
Commençons par calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$.

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-0} \\ {4-1} \end{array}\right)$$ d'où :

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$$

Calculons maintenant le vecteur $$\overrightarrow{DC}$$. Soit $$D\left(x_{D};y_{D}\right)$$ les coordonnées du point $$D$$.

$$\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{D}} \\ {y_{C}-y_{D}} \end{array}\right)$$ ainsi

$$\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {4-x_{D}} \\ {1-y_{D}} \end{array}\right)$$

Comme $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$.
Il en résulte donc que :
$$\left(\begin{array}{c} {4-x_{D}} \\ {1-y_{D}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$$On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {4-x_{D}} & {=} & {2} \\ {1-y_{D}} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{D}} & {=} & {2-4} \\ {-y_{D}} & {=} & {3-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{D}} & {=} & {-2} \\ {-y_{D}} & {=} & {2} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point $$D$$ sont alors $$D\left(2;-2\right)$$

Nous savons que $$ABCD$$ est un parallélogramme.
Il nous suffit de montrer que si deux cotés consécutifs d'un parallélogramme sont égaux alors ce parallélogramme sera alors un losange. D'une part :
$$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$AB=\sqrt{\left(2-0 \right)^{2} +\left(4-1 \right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{2^{2} +3^{2} }$$

D'autre part :
$$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$BC=\sqrt{\left(4-2 \right)^{2} +\left(1-4\right)^{2} }$$
$$BC=\sqrt{2^{2} +\left(-3\right)^{2} }$$

$$ABCD$$ est un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux. $$ABCD$$ est bien un losange.

Nous savons que $$ABCD$$ est un losange. Pour que $$ABCD$$ soit un carré, il faut que les diagonales soient de même mesure. Les diagonales sont ici $$\left[AC\right]$$ et $$\left[BD\right]$$.
D'une part :
$$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$AC=\sqrt{\left(4-0 \right)^{2} +\left(1-1 \right)^{2} }$$
$$AC=\sqrt{4^{2} +0^{2} }$$

D'autre part :
$$BD=\sqrt{\left(x_{D} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{D} -y_{B} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$BD=\sqrt{\left(2-2 \right)^{2} +\left(-2-4\right)^{2} }$$
$$BD=\sqrt{0^{2} +\left(-6\right)^{2} }$$

Les diagonales n'ont pas la même mesure. Le losange $$ABCD$$ n'est donc pas un carré.