Exercices Types - Exercice 2

Nous pouvons citer par exemple les vecteurs $$\overrightarrow{IE}$$ et $$\overrightarrow{GC}$$ ou encore $$\overrightarrow{EA}$$.

Si nous prenons le vecteur $$\vec{JF}$$ qui est également un vecteur opposé au vecteur $$\overrightarrow{FJ}$$, alors l'écriture mathématique est la suivante :

$$\overrightarrow{LC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{L}} \\ {y_{C}-y_{L}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{LC} \left(\begin{array}{c} {7-4} \\ {1-7} \end{array}\right)$$ d'où :

$$\overrightarrow{LC} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right)$$

La norme du vecteur $$\overrightarrow{LC}$$ correspond à la distance du segment $$\left[LC\right]$$
Ainsi :
$$LC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{L} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{L} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$LC=\sqrt{\left(7-4 \right)^{2} +\left(1-7 \right)^{2} }$$
$$LC=\sqrt{3^{2} +\left(-6\right)^{2} }$$
$$LC=\sqrt{45 }$$
$$LC=\sqrt{9\times5 }$$

Nous savons que $$\overrightarrow{PK}\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)$$ et également que : $$\overrightarrow{PK} \left(\begin{array}{c} {x_{K}-x_{P}} \\ {y_{K}-y_{P}} \end{array}\right)$$. Finalement : $$\overrightarrow{PK} \left(\begin{array}{c} {6-x_{P}} \\ {7-y_{P}} \end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {6-x_{P}} \\ {7-y_{P}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {6-x_{P}} & {=} & {2} \\ {7-y_{P}} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{P}} & {=} & {2-6} \\ {-y_{P}} & {=} & {4-7} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{P}} & {=} & {-4} \\ {-y_{P}} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point $$P$$ sont alors $$P\left(4;3\right)$$ qui est confondu avec le point $$E$$.

D'après le repère, nous pouvons lire les coordonnées des points $$I$$, $$B$$, $$H$$ et $$A$$. On a alors : $$I\left(5;5\right)$$ ; $$B\left(5;1\right)$$ ; $$H\left(7;5\right)$$ et $$A\left(3;1\right)$$

$$\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {x_{H}-x_{B}} \\ {y_{H}-y_{C}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {7-5} \\ {5-1} \end{array}\right)$$ d'où :

$$\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-3} \\ {1-1} \end{array}\right)$$ d'où :

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{IQ} \left(\begin{array}{c} {x_{Q}-x_{I}} \\ {y_{Q}-y_{I}} \end{array}\right)$$ ainsi :

$$\overrightarrow{IQ} \left(\begin{array}{c} {x_{Q}-5} \\ {y_{Q}-5} \end{array}\right)$$

Nous savons que : $$\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AB}$$
Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {x_{Q}-5} \\ {y_{Q}-5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{Q}-5} & {=} & {4} \\ {y_{Q}-5} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{Q}} & {=} & {4+5} \\ {y_{Q}} & {=} & {5+4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{Q}} & {=} & {9} \\ {y_{Q}} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point $$Q$$ sont $$Q\left(9;9\right)$$

D'après le repère, nous pouvons lire les coordonnées des points $$J$$, $$B$$, $$H$$ et $$A$$. On a alors : $$J\left(3;5\right)$$ ; $$B\left(5;1\right)$$ ; $$H\left(7;5\right)$$ et $$A\left(3;1\right)$$

$$\overrightarrow{JH} \left(\begin{array}{c} {x_{H}-x_{J}} \\ {y_{H}-y_{J}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{JH} \left(\begin{array}{c} {7-3} \\ {5-5} \end{array}\right)$$ d'où :

$$\overrightarrow{JH} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-3} \\ {1-1} \end{array}\right)$$ d'où :

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JH}= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \end{array}\right)- \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JH}= \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{DR} \left(\begin{array}{c} {x_{R}-x_{D}} \\ {y_{R}-y_{D}} \end{array}\right)$$ ainsi :

$$\overrightarrow{DR} \left(\begin{array}{c} {x_{R}-6} \\ {y_{R}-3} \end{array}\right)$$

Nous savons que : $$\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JH}$$
Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {x_{R}-6} \\ {y_{R}-3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{R}-6} & {=} & {-2} \\ {y_{R}-3} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{R}} & {=} & {-2+6} \\ {y_{R}} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{R}} & {=} & {4} \\ {y_{R}} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point $$R$$ sont $$R\left(4;3\right)$$