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Seconde
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Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 4
7 min
10
Question 1
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. On considère les points
R
(
−
1
;
4
)
R\left(-1;4 \right)
R
(
−
1
;
4
)
;
S
(
1
;
2
)
S\left(1;2\right)
S
(
1
;
2
)
;
T
(
−
3
;
2
)
T\left(-3;2\right)
T
(
−
3
;
2
)
et
U
(
3
;
4
)
U\left(3;4\right)
U
(
3
;
4
)
.
Faites une figure.
Correction
Question 2
Montrer que le quadrilatère
R
U
S
T
RUST
R
U
ST
est un parallélogramme.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan et quatre points
A
(
x
A
;
y
A
)
A\left(x_{A} ;y_{A} \right)
A
(
x
A
;
y
A
)
;
B
(
x
B
;
y
B
)
B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
B
(
x
B
;
y
B
)
;
C
(
x
C
;
y
C
)
C\left(x_{C} ;y_{C} \right)
C
(
x
C
;
y
C
)
et
D
(
x
D
;
y
D
)
D\left(x_{D} ;y_{D} \right)
D
(
x
D
;
y
D
)
Le quadrilatère
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
est un parallélogramme si et seulement si
A
B
→
=
D
C
→
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
A
B
=
D
C
. Autrement dit, il faut vérifier que
deux vecteurs opposées soient égaux.
R
U
→
(
x
U
−
x
R
y
U
−
y
R
)
\overrightarrow{RU} \left(\begin{array}{c} {x_{U}-x_{R}} \\ {y_{U}-y_{R}} \end{array}\right)
R
U
(
x
U
−
x
R
y
U
−
y
R
)
ainsi
R
U
→
(
3
−
(
−
1
)
4
−
4
)
\overrightarrow{RU} \left(\begin{array}{c} {3-\left(-1\right)} \\ {4-4} \end{array}\right)
R
U
(
3
−
(
−
1
)
4
−
4
)
d'où :
R
U
→
(
4
0
)
\overrightarrow{RU} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)
R
U
(
4
0
)
T
S
→
(
x
S
−
x
T
y
S
−
y
T
)
\overrightarrow{TS} \left(\begin{array}{c} {x_{S}-x_{T}} \\ {y_{S}-y_{T}} \end{array}\right)
TS
(
x
S
−
x
T
y
S
−
y
T
)
ainsi
T
S
→
(
1
−
(
−
3
)
2
−
2
)
\overrightarrow{TS} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-3\right)} \\ {2-2} \end{array}\right)
TS
(
1
−
(
−
3
)
2
−
2
)
d'où :
T
S
→
(
4
0
)
\overrightarrow{TS} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)
TS
(
4
0
)
Comme
R
U
→
=
T
S
→
\overrightarrow{RU}=\overrightarrow{TS}
R
U
=
TS
alors le quadrilatère
R
U
S
T
RUST
R
U
ST
est un parallélogramme.