Comment déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une relation vectorielle - Exercice 2

On commence par calculer les vecteurs $$\vec{AB}$$ et $$\vec{AC}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {2-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2-2} \\ {-3-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-4} \end{array}\right)$$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires.
On a : $$1\times \left(-4\right)-1\times\left(-4\right)=-4+4=0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires. Donc les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ sont alignés.

Notons $$M\left(x;y \right)$$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{BD}$$ et $$\overrightarrow{BM}$$.
$$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{B}} \\ {y_{D}-y_{B}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {8-3} \\ {-13-2} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-15} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{B}} \\ {y_{M}-y_{B}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)$$
De plus : $$\frac{1}{5}\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {5\times\frac{1}{5}} \\ {-15\times\frac{1}{5}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\frac{1}{5}\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)$$.
Or nous savons que : $$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BD}$$.
Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-3} & {=} & {1} \\ {y-2} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1+3} \\ {y} & {=} & {-3+2} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point $$M$$ sont alors $$M\left(4;-1\right)$$

Il vient alors que :
$$\text{\color{red}D'une part :}$$
$$x_{K} =\frac{x_{C} +x_{M} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{K} =\frac{-2+4}{2}$$
$$x_{K} =\frac{2}{2}$$

$$\text{\color{red}D'autre part :}$$
$$y_{K} =\frac{y_{C} +y_{M} }{2}$$
$$y_{K} =\frac{-3-1}{2}$$
$$y_{K} =\frac{-4}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$K$$ du segment $$\left[CM\right]$$ sont $$K\left(1 ;-2\right)$$