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Seconde
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Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Calculer le déterminant de deux vecteurs - Exercice 1
12 min
20
Question 1
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. Soient
u
→
(
2
;
3
)
\overrightarrow{u} \left(2;3\right)
u
(
2
;
3
)
et
v
→
(
4
;
5
)
\overrightarrow{v} \left(4;5\right)
v
(
4
;
5
)
. Calculer
det
(
u
→
,
v
→
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
det
(
u
,
v
)
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Soient deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
. Le
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
des vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
est le réel
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
,
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
Soit :
det
(
u
→
,
v
→
)
=
2
×
5
−
4
×
3
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=2\times 5-4\times 3
det
(
u
,
v
)
=
2
×
5
−
4
×
3
det
(
u
→
,
v
→
)
=
10
−
12
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=10-12
det
(
u
,
v
)
=
10
−
12
det
(
u
→
,
v
→
)
=
−
2
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2
det
(
u
,
v
)
=
−
2
Question 2
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. Soient
u
→
(
−
1
6
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right)
u
(
−
1
6
)
et
v
→
(
4
2
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)
v
(
4
2
)
. Calculer
det
(
u
→
,
v
→
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
det
(
u
,
v
)
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Soient deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
. Le
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
des vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
est le réel
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
,
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
Soit :
det
(
u
→
,
v
→
)
=
−
1
×
2
−
4
×
6
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-1\times 2-4\times 6
det
(
u
,
v
)
=
−
1
×
2
−
4
×
6
det
(
u
→
,
v
→
)
=
−
2
−
24
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2-24
det
(
u
,
v
)
=
−
2
−
24
det
(
u
→
,
v
→
)
=
−
26
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-26
det
(
u
,
v
)
=
−
26
Question 3
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. Soient
u
→
(
5
3
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)
u
(
5
3
)
et
v
→
(
0
8
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {8} \end{array}\right)
v
(
0
8
)
. Calculer
det
(
u
→
,
v
→
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
det
(
u
,
v
)
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Soient deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
. Le
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
des vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
est le réel
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
,
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
Soit :
det
(
u
→
,
v
→
)
=
5
×
8
−
0
×
3
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=5\times 8-0\times 3
det
(
u
,
v
)
=
5
×
8
−
0
×
3
det
(
u
→
,
v
→
)
=
40
−
0
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=40-0
det
(
u
,
v
)
=
40
−
0
det
(
u
→
,
v
→
)
=
40
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=40
det
(
u
,
v
)
=
40
Question 4
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. Soient
u
→
(
2
4
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)
u
(
2
4
)
et
v
→
(
3
6
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {6} \end{array}\right)
v
(
3
6
)
. Calculer
det
(
u
→
,
v
→
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
det
(
u
,
v
)
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Soient deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
. Le
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
des vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
est le réel
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
,
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
Soit :
det
(
u
→
,
v
→
)
=
2
×
6
−
3
×
4
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=2\times 6-3\times 4
det
(
u
,
v
)
=
2
×
6
−
3
×
4
det
(
u
→
,
v
→
)
=
12
−
12
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=12-12
det
(
u
,
v
)
=
12
−
12
det
(
u
→
,
v
→
)
=
0
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=0
det
(
u
,
v
)
=
0
Question 5
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. Soient
u
→
(
x
2
+
x
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {2+x} \end{array}\right)
u
(
x
2
+
x
)
et
v
→
(
4
3
−
2
x
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3-2x} \end{array}\right)
v
(
4
3
−
2
x
)
. Calculer
det
(
u
→
,
v
→
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
det
(
u
,
v
)
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Soient deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
. Le
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
des vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
est le réel
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
,
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
Soit :
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
×
(
3
−
2
x
)
−
4
(
2
+
x
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=x\times \left(3-2x\right)-4\left(2+x\right)
det
(
u
,
v
)
=
x
×
(
3
−
2
x
)
−
4
(
2
+
x
)
det
(
u
→
,
v
→
)
=
x
×
3
+
x
×
(
−
2
x
)
−
(
4
×
2
+
4
×
x
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=x\times 3+x\times \left(-2x\right)-\left(4\times 2+4\times x\right)
det
(
u
,
v
)
=
x
×
3
+
x
×
(
−
2
x
)
−
(
4
×
2
+
4
×
x
)
det
(
u
→
,
v
→
)
=
3
x
−
2
x
2
−
(
8
+
4
x
)
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=3x-2x^{2} -\left(8+4x\right)
det
(
u
,
v
)
=
3
x
−
2
x
2
−
(
8
+
4
x
)
det
(
u
→
,
v
→
)
=
3
x
−
2
x
2
−
8
−
4
x
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=3x-2x^{2} -8-4x
det
(
u
,
v
)
=
3
x
−
2
x
2
−
8
−
4
x
det
(
u
→
,
v
→
)
=
−
2
x
2
−
x
−
8
\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=-2x^{2} -x-8
det
(
u
,
v
)
=
−
2
x
2
−
x
−
8