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Savoir résoudre une équation - Exercice 3

15 min
30
Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

(x+7)2−4=0\left(x+7\right)^{2} -4=0

Correction
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
  • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
(x+7)2−4=0\left(x+7\right)^{2} -4=0 équivaut successivement à :
(x+7)2−(2)2=0\left(x+7\right)^{2} -\left(2\right)^{2}=0
Ici nous avons a=x+7a=x+7 et b=2b=2. Il vient alors que :
(x+7−2)(x+7+2)=0\left(x+7-2\right)\left(x+7+2\right)=0
(x+5)(x+9)=0\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi (x+5)(x+9)=0\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0 revient à résoudre :
x+5=0x+5=0 ou x+9=0x+9=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x+5=0x+5=0 qui donne x=−5x=-5
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x+9=0x+9=0 qui donne x=−9x=-9
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−9;−5}S=\left\{-9;-5\right\}

    Question 2

    (2x−1)2−49=0\left(2x-1\right)^{2} -49=0

    Correction
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    (2x−1)2−49=0\left(2x-1\right)^{2} -49=0 équivaut successivement à :
    (2x−1)2−(7)2\left(2x-1\right)^{2} -\left(7\right)^{2}
    Ici nous avons a=2x−1a=2x-1 et b=7b=7. Il vient alors que :
    (2x−1−7)(2x−1+7)=0\left(2x-1-7\right)\left(2x-1+7\right)=0
    (2x−8)(2x+6)=0\left(2x-8\right)\left(2x+6\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (2x−8)(2x+6)=0\left(2x-8\right)\left(2x+6\right)=0 revient à résoudre :
    2x−8=02x-8=0 ou 2x+6=02x+6=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 2x−8=02x-8=0 ainsi 2x=82x=8 ce qui donne x=82=4x=\frac{8}{2}=4
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x+6=02x+6=0 ainsi 2x=−62x=-6 ce qui donne x=−62=−3x=\frac{-6}{2}=-3
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−3;4}S=\left\{-3;4\right\}

    Question 3

    (3x−1)2=(2x+3)2\left(3x-1\right)^{2} =\left(2x+3\right)^{2}

    Correction
    (3x−1)2=(2x+3)2\left(3x-1\right)^{2} =\left(2x+3\right)^{2} équivaut successivement à :
    (3x−1)2−(2x+3)2=0\left(3x-1\right)^{2} -\left(2x+3\right)^{2}=0
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    Ici nous avons a=3x−1a=3x-1 et b=2x+3b=2x+3. Il vient alors que :
    (3x−1−(2x+3))(3x−1+(2x+3))=0\left(3x-1-\left(2x+3\right)\right)\left(3x-1+\left(2x+3\right)\right)=0 .
    (3x−1−2x−3)(3x−1+2x+3)=0\left(3x-1-2x-3\right)\left(3x-1+2x+3\right)=0
    (x−4)(5x+2)=0\left(x-4\right)\left(5x+2\right)=0. Il s'agit d'une équation produit nul.
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (x−4)(5x+2)=0\left(x-4\right)\left(5x+2\right)=0 revient à résoudre :
    x−4=0x-4=0 ou 5x+2=05x+2=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x−4=0x-4=0 qui donne x=4x=4
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 5x+2=05x+2=0 qui donne 5x=−25x=-2. D'où : x=−25x=-\frac{2}{5}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−25;4}S=\left\{-\frac{2}{5};4\right\}