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Lecture graphique : images, antécédents et résoudre graphiquement f(x)kf(x) \geq k ou f(x)kf(x) \leq k - Exercice 4

20 min
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On considère la fonction ff dont la courbe représentative C\mathscr{C} est tracée ci-dessous :
Question 1

Déterminer l'ensemble de définition de ff. On le note DfD_{f}.

Correction
L'ensemble de définition de ff est : Df=[9;8]D_{f}=\left[-9;8\right]
Question 2

Déterminer l'image de 3-3.

Correction
Ici on souhaite déterminer l'image de 3-3 par la fonction ff c'est-à-dire f(3)f\left(-3\right) .
Pour cela :
\bullet On repère le point d'abscisse 3-3, et ensuite on rejoint la courbe verticalement.
\bullet Ensuite en partant du point de la courbe, on rejoint l'axe des ordonnées. (En ce point se trouve la valeur recherchée.)

A l'aide du graphique, on peut en conclure que l'image de 3{\color{blue}{-3}} par la fonction f{\color{blue}{f}} est 4{\color{blue}{-4}}. On peut l'écrire également :
f(3)=4f\left(-3\right)=-4
Question 3

Déterminer f(6)f\left(6\right).

Correction
Ici on souhaite déterminer l'image de 66 par la fonction ff c'est-à-dire f(6)f\left(6\right) .
Pour cela :
\bullet On repère le point d'abscisse 66, et ensuite on rejoint la courbe verticalement.
\bullet Ensuite en partant du point de la courbe, on rejoint l'axe des ordonnées. (En ce point se trouve la valeur recherchée.)

A l'aide du graphique, on peut en conclure que l'image de 6{\color{blue}{6}} par la fonction f{\color{blue}{f}} est 1{\color{blue}{1}}. On peut l'écrire également :
f(6)=1f\left(6\right)=1
Question 4

Déterminer le ou les antécédents de 00 par ff.

Correction
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe C\mathscr{C} et la droite horizontale y=0y = 0 qui correspond à l'axe des abscisses.
La courbe C\mathscr{C} coupe l'axe des abscisses en trois points d'abscisses respectives 5-5 ; 1-1 et 7,57,5.
Par lecture graphique, les antécédents de 00 par ff sont :
S={5;1;7,5}S=\left\{-5;-1;7,5 \right\}
Question 5

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1

Correction
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe C\mathscr{C} et la droite horizontale y=1y = 1.
La droite d'équation y=1y=1 coupe la courbe C\mathscr{C} aux points d'abscisses respectives 7-7 ; 0,5-0,5 ; 66 et 7,57,5.
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1 est
S={7;  0,5  ;  6  ;  7,5}S=\left\{-7;\;-0,5\;;\;6\;;\;7,5 \right\}
Question 6

Dresser le tableau de variation de ff sur l'ensemble de définition DfD_{f}.

Correction
A l'aide du graphique, nous dressons ci-dessus le tableau de variation de ff.
Question 7

Quels sont les extrema de ff sur son ensemble de définition. On précisera en quelles valeurs ils sont atteints.

Correction
Nous redonnons ci-dessous le tableau de variation de ff en indiquant les extrema. C'est à dire le minimum et le maximum. Nous les avons mis en couleurs.
  • Le minimum vaut 5-5 lorsque x=9x=9.
  • Le maximum vaut 44 lorsque x=2x=2.