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Exercices types : orientés calculs - Exercice 2

20 min
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Question 1
ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x3)24x2f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-4x^{2}. On note Cf\mathscr{C_{f}} sa courbe représentative dans un repère.

Factoriser l'expression de f(x)f\left(x\right).

Correction
  • a2b2=(ab)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
f(x)=(x3)24x2f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-4x^{2} équivaut successivement à :
f(x)=(x3)2(2x)2f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-\left(2x\right)^{2}
Ici nous avons a=x3a=x-3 et b=2xb=2x. Il vient alors que :
f(x)=(x32x)(x3+2x)f\left(x\right)=\left(x-3-2x\right)\left(x-3+2x\right)
D'où :
f(x)=(x3)(3x3)f\left(x\right)=\left(-x-3\right)\left(3x-3\right)
Question 2

Développer l'expression de f(x)f\left(x\right).

Correction
  • (ab)2=a22ab+b2\left(a-b\right)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2}
Ici nous avons a=xa=x et b=3b=3.
f(x)=(x3)24x2f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-4x^{2} équivaut successivement à :
f(x)=x22×x×3+324x2f\left(x\right)=x^{2} -2\times x\times 3+3^{2}-4x^{2}
f(x)=x26x+94x2f\left(x\right)=x^{2} -6x+9-4x^{2}
Ainsi :
f(x)=3x26x+9f\left(x\right)=-3x^{2} -6x+9
Question 3

Calculer l'image par la fonction ff de 2\sqrt 2.

Correction
f(2)=3×(2)26×2+9f\left(\sqrt 2\right)=-3\times\left(\sqrt 2\right)^{2} -6\times\sqrt 2+9
f(2)=3×26×2+9f\left(\sqrt 2\right)=-3\times2 -6\times\sqrt 2+9
f(2)=662+9f\left(\sqrt 2\right)=-6 -6\sqrt 2+9
Enfin :
f(2)=362f\left(\sqrt 2\right)=3 -6\sqrt 2
Question 4

Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées.

Correction
Un point appartenant à l'axe des ordonnées, signifie que son abscisse est nulle.
Autrement dit, il nous faut calculer f(0)f\left(0\right).
f(0)=3×026×0+9f\left(0\right)=-3\times0^{2} -6\times0+9
f(0)=9f\left(0\right)=9

Ainsi le point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées a pour cordonnées (0;9)\left(0;9\right).
Question 5

Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des abscisses.

Correction
Les abscisses des points d'intersections de la courbe Cf\mathscr{C_{f}} avec l'axe des abscisses sont les antécédents de 00. Il nous faut donc résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0. Nous allons utiliser dans ce cas la forme factorisée.
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
(x3)(3x3)=0\left(-x-3\right)\left(3x-3\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
Ainsi :
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x3=0-x-3=0 qui donne x=3-x=3 . D'où : x=3x=-3
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 3x3=03x-3=0 qui donne 3x=33x=3 . D'où : x=33=1x=\frac{3}{3}=1
  • Ainsi les points d'intersections entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des abscisses ont pour cordonnées respectives (3;0)\left(-3;0\right) et (1;0)\left(1;0\right).
    Question 6

    Quelles sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C_{f}} qui ont une ordonnée égale à 99.

    Correction
    Pour déterminer les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C_{f}} qui ont une ordonnée égale à 99, il nous faut résoudre l'équation f(x)=9f\left(x\right)=9. Nous allons utiliser dans ce cas la forme développée.
    f(x)=9f\left(x\right)=9 équivaut successivement à :
    3x26x+9=9-3x^{2} -6x+9=9
    3x26x=99-3x^{2} -6x=9-9
    3x26x=0-3x^{2} -6x=0
    3×x×x6×x=0-3\times x\times x-6\times x=0
    x(3x6)=0x\left(-3x-6\right)=0. Il s'agit d'une équation produit nul.
    Ainsi :
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 . D'où : x=3x=-3
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 3x6=0-3x-6=0 qui donne 3x=6-3x=6 . D'où : x=63=2x=\frac{6}{-3}=-2
  • Les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C_{f}} qui ont une ordonnée égale à 99 sont 00 et 2-2.