Exercices types : orientés calculs - Exercice 2

$$f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-4x^{2}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-\left(2x\right)^{2}$$
Ici nous avons $$a=x-3$$ et $$b=2x$$. Il vient alors que :
$$f\left(x\right)=\left(x-3-2x\right)\left(x-3+2x\right)$$
D'où :

Ici nous avons $$a=x$$ et $$b=3$$.
$$f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-4x^{2}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=x^{2} -2\times x\times 3+3^{2}-4x^{2}$$
$$f\left(x\right)=x^{2} -6x+9-4x^{2}$$
Ainsi :

$$f\left(\sqrt 2\right)=-3\times\left(\sqrt 2\right)^{2} -6\times\sqrt 2+9$$
$$f\left(\sqrt 2\right)=-3\times2 -6\times\sqrt 2+9$$
$$f\left(\sqrt 2\right)=-6 -6\sqrt 2+9$$
Enfin :

Un point appartenant à l'axe des ordonnées, signifie que son abscisse est nulle.
Autrement dit, il nous faut calculer $$f\left(0\right)$$.
$$f\left(0\right)=-3\times0^{2} -6\times0+9$$

Ainsi le point d'intersection entre $$\mathscr{C_{f}}$$ et l'axe des ordonnées a pour cordonnées $$\left(0;9\right)$$.

Les abscisses des points d'intersections de la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ avec l'axe des abscisses sont les antécédents de $$0$$. Il nous faut donc résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$. Nous allons utiliser dans ce cas la forme factorisée.
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(-x-3\right)\left(3x-3\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Ainsi :

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$-x-3=0$$ qui donne $$-x=3$$ . D'où : $$x=-3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x-3=0$$ qui donne $$3x=3$$ . D'où : $$x=\frac{3}{3}=1$$

Ainsi les points d'intersections entre $$\mathscr{C_{f}}$$ et l'axe des abscisses ont pour cordonnées respectives $$\left(-3;0\right)$$ et $$\left(1;0\right)$$.

Pour déterminer les abscisses des points de la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ qui ont une ordonnée égale à $$9$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=9$$. Nous allons utiliser dans ce cas la forme développée.
$$f\left(x\right)=9$$ équivaut successivement à :
$$-3x^{2} -6x+9=9$$
$$-3x^{2} -6x=9-9$$
$$-3x^{2} -6x=0$$
$$-3\times x\times x-6\times x=0$$
$$x\left(-3x-6\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
Ainsi :

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ . D'où : $$x=-3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$-3x-6=0$$ qui donne $$-3x=6$$ . D'où : $$x=\frac{6}{-3}=-2$$

Les abscisses des points de la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ qui ont une ordonnée égale à $$9$$ sont $$0$$ et $$-2$$.